Wikipédia

„Gödel első nemteljességi tétele” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Nincs szerkesztési összefoglaló
korr+forma
1. sor:
:''A Gödel-tétel ide irányít át. Más jelentéseihez lásd a [[Gödel-tétel (egyértelműsítő lap)]] cikket.''
'''[[Kurt Gödel|Gödel]] első nemteljességi tétele''' a[[[[Kurt Gödel]] osztrák matematikus [[matematikai logika]] és a [[metamatematika]] nagy jelentőségű tétele, mely (a [[Gödel második nemteljességi tétele|Gödel második nemteljességi tételleltételével]] együtt) destruktív hatást gyakorolt a [[matematika]] [[formális nyelv]]ekre építő [[a matematika alapjai|megalapozási]] kísérleteire. Amellett, hogy a tételnek az [[analitikus filozófia|analitikus]] [[nyelvfilozófia|nyelvfilozófiában]] is fontos szerepe van, bizonyításának módszere nagyban hozzájárult a [[rekurzív matematika]] (így a [[számítógép-tudomány]]) fejlődéséhez.
 
== A tétel ==
 
* '''Tétel''' – ''Gödel első nemteljességi tétele''
:Minden ''ellentmondásmentes'', a ''természetes számok elméletét tartalmazó'', ''formális-axiomatikus elméletben'' ''megfogalmazható'' olyan mondat, mely se nem ''bizonyítható'', se nem ''cáfolható''.
 
=== Terminológiai megjegyzések ===
1* –1. ''Formális-axiomatikus elmélet'' alatt bármilyen formalizált (például [[elsőrendű nyelv]]re épített) [[axiomatikus-deduktív módszer|axiomatikus-deduktív]] elméletet érthetünk, melynek axiómarendszere rekurzívan felsorolható.▼
 
2* –2. ''Ellentmondásos'' egy axiomatikus-deduktív elmélet, ha van benne olyan mondat, mely bizonyítható is és cáfolható is. Amennyiben kizárt, hogy akármelyik mondat bizonyítható és cáfolható is legyen, akkor azt mondjuk, hogy az elmélet ''[[ellentmondásmentes elmélet|ellentmondásmentes]]''.▼
▲1 – ''Formális-axiomatikus elmélet'' alatt bármilyen formalizált (például [[elsőrendű nyelv]]re épített) [[axiomatikus-deduktív módszer|axiomatikus-deduktív]] elméletet érthetünk, melynek axiómarendszere rekurzívan felsorolható.
3* –3. Azon, hogy ''tartalmazza a természetes számok elméletét'', azt értjük, hogy szerepeljenek a formális nyelvben olyan kifejezések, melyek megfeleltethetők a természetes számoknak, az összeadásnak, a szorzásnak úgy, hogy a [[Peano-aritmetika]] axiómái megfogalmazhatók és egyben levezethetők is legyenek az elméletben. Ezt a feltételt még úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az elmélet ''elegendően erős''.▼
 
4* –4. ''Megfogalmazható'', azaz létezik a formális nyelvnek ilyen mondata. (Ez a fajta létezés ráadásul konstruktív abban az értelemben, hogy valamilyen eljárással véges lépésben kikereshető az összes mondat közül – bár a kikeresés idejére vonatkozóan nem feltétlenül lehet felső korlátot megadni.)▼
▲2 – ''Ellentmondásos'' egy axiomatikus-deduktív elmélet, ha van benne olyan mondat, mely bizonyítható is és cáfolható is. Amennyiben kizárt, hogy akármelyik mondat bizonyítható és cáfolható is legyen, akkor azt mondjuk, hogy az elmélet ''[[ellentmondásmentes elmélet|ellentmondásmentes]]''.
5* –5. ''Bizonyítható'', azaz formalizált axiomatikus-deduktív elméletek levezethetőség kritériumának megfelel.▼
 
6* –6. ''Cáfolható'' egy ''S'' mondat, ha [[negáció]]ja (azaz a 'nem S' mondat) bizonyítható.▼
▲3 – Azon, hogy ''tartalmazza a természetes számok elméletét'', azt értjük, hogy szerepeljenek a formális nyelvben olyan kifejezések, melyek megfeleltethetők a természetes számoknak, az összeadásnak, a szorzásnak úgy, hogy a [[Peano-aritmetika]] axiómái megfogalmazhatók és egyben levezethetők is legyenek az elméletben. Ezt a feltételt még úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az elmélet ''elegendően erős''.
 
▲4 – ''Megfogalmazható'', azaz létezik a formális nyelvnek ilyen mondata. (Ez a fajta létezés ráadásul konstruktív abban az értelemben, hogy valamilyen eljárással véges lépésben kikereshető az összes mondat közül – bár a kikeresés idejére vonatkozóan nem feltétlenül lehet felső korlátot megadni.)
 
▲5 – ''Bizonyítható'', azaz formalizált axiomatikus-deduktív elméletek levezethetőség kritériumának megfelel.
 
▲6 – ''Cáfolható'' egy ''S'' mondat, ha [[negáció]]ja (azaz a 'nem S' mondat) bizonyítható.
 
=== Megjegyzések az említett fogalmak matematikai hátteréhez ===
1 –* Ha egy elméletben minden mondat bizonyítható vagy cáfolható (itt a 'vagy' a 'megengedő vagy' értelmében veendő), akkor az elméletet ''negációteljes''nek nevezzük. Ha olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható, akkor az elméletet ''nemteljes''nek mondjuk, a szóban forgó bizonyíthatatlan illetve cáfolhatatlan mondatok elnevezése pedig: (az axiómarendszertől) ''független'' vagy ''eldönthetetlen'' kijelentések.▼
 
2 –* A Peano-aritmetika helyett annak egy gyengített verziója is elegendő. A tétel fennállásához a [[Robinson-féle Q aritmetika]] axiómáinak feltétele.▼
▲1 – Ha egy elméletben minden mondat bizonyítható vagy cáfolható (itt a 'vagy' a 'megengedő vagy' értelmében veendő), akkor az elméletet ''negációteljes''nek nevezzük. Ha olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható, akkor az elméletet ''nemteljes''nek mondjuk, a szóban forgó bizonyíthatatlan illetve cáfolhatatlan mondatok elnevezése pedig: (az axiómarendszertől) ''független'' vagy ''eldönthetetlen'' kijelentések.
3 –* Mint ismeretes, a klasszikus logikában (a [[parakonzisztens logikák]]kal szemben) egy elmélet pontosan akkor ellentmondásmentes, ha van benne olyan mondat, mely nem levezethető (ez az ellentmondásmentesség egy fontos jellemzése). Gödel első nemteljességi tétel ezen kívül azt is állítja, hogy van olyan nem levezethető mondat, melynek negációja sem vezethető le, azaz független mondat létezése ekvivalens az ellentmondásmentességgel (feltéve, hogy az elmélet elegendően erős).▼
 
▲2 – A Peano-aritmetika helyett annak egy gyengített verziója is elegendő. A tétel fennállásához a [[Robinson-féle Q aritmetika]] axiómáinak feltétele.
 
▲3 – Mint ismeretes, a klasszikus logikában (a [[parakonzisztens logikák]]kal szemben) egy elmélet pontosan akkor ellentmondásmentes, ha van benne olyan mondat, mely nem levezethető (ez az ellentmondásmentesség egy fontos jellemzése). Gödel első nemteljességi tétel ezen kívül azt is állítja, hogy van olyan nem levezethető mondat, melynek negációja sem vezethető le, azaz független mondat létezése ekvivalens az ellentmondásmentességgel (feltéve, hogy az elmélet elegendően erős).
 
=== Episztemológiai vonatkozások ===
A tétel megfogalmazható úgy is, hogy ''Minden elég erős, ellentmondásmentes elméletben van olyan mondat, mely eldönthetetlen, miközben ''igaz'' ''.
: ''Minden elég erős, ellentmondásmentes elméletben van olyan mondat, mely eldönthetetlen, miközben ''igaz'' ''.
Itt az ''igaz'' minősítést abban az értelemben használják, ahogy [[Arisztotelész]], azaz úgy gondolják, minden kijelentés vagy igaz, vagy hamis. Ha elfogadjuk, hogy a mondatok igazságértéke felderítésének lényegében egyedüli útja az, hogy találunk-e hozzájuk levezetést, akkor súlyos episztemológiai állítással kerülünk szembe. Eszerint minden elég erős elméletben lesz olyan mondat, melynek igazságáról nem fogunk tudni meggyőződni, vagyis egyik (elég erős) formális-axiomatikus rendszer sem lesz képes arra, hogy maradéktalanul minden eldöntendő kérdésre válaszoljon. Eszerint tehát eleve lehetetlen minden mondat igazságát levezetéssel megállapítani, azaz a formális rendszerek inkompetensek az összes kijelentés igazságának eldöntése dolgában.
 
46 ⟶ 35 sor:
 
== Lásd még ==
* [[Gödel teljességi tétele]]
* [[Gödel második nemteljességi tétele]]
 
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Gödel_első_nemteljességi_tétele”