„Fermat-tétel (analízis)” változatai közötti eltérés

a
== Motiváció ==
 
A tétel rendkívül szemléletes, hiszen azt mondja, hogy bizonyos feltételek teljesülése esetén maximum, illetve minimum csak ott lehet, ahol a függvény grafikonjához rajzolt érintő „vízszintes”. SzeméletünkSzemléletünk alapját a polinomfüggvények és a [[valós analitikus függvény]]ek alkotják, melyek a történetileg kialakult függvényfogalmak legkorábbi típusai. ''Polinomfüggvény'' esetén, ha ''u''-ban lokális minimum van, akkor van ''u''-t megelőzően egy olyan intervallum, melyben ''f'' szigorúan monoton csökken, illetve ott a derivált negatív és ''u''-t követően egy olyan intervallum, ahol ''f'' szigorúan monoton nő, illetve ahol a derivált pozitív. Mivel ekkor a deriváltfüggvény is folytonos, ezért [[Bolzano-tétel|Bolzano tétele]] miatt ''u''-ban ''f ' ''-nak fel kell vennie a nulla értéket, nullának kell lennie. Valójában egy intervallumon értelmezett deriváltfüggvény mindig teljesíti a [[Darboux-tulajdonság]]ot, azaz definíció szerint igaz rá a Bolzano-tétel állítása, így ha olyan a függvény, hogy ''u'' előtt a derivált negatív, ''u''-t követően pedig pozitív, akkor ebből f '(u) = 0 kell hogy következzen. Nem kell azonban feltennünk még azt sem, hogy legyen ''u'' előtt és után olyan intervallum, ahol a derivált negatív, illetve pozitív, ami szerencse is, hiszen vannak a modern függvényfogalomnak olyan esetei, amikor ez nem teljesül. A Fermat-tétel az előbb említetteknél jóval gyengébb, pusztán lokális megszorításokat tartalmazó feltételek mellett is igaz. A bizonyításban ekkor szerephez jutnak olyan elemek, melyek a függvény, a függvényhatárérték és a differenciálhatóság definíciójának kontraintuitív tartalmait képviselik, így lesz igaz a nem intuitív esetekben is az intuitív tétel.
 
== A tétel ==