Wikipédia

„Euler-képlet” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Története
25. sor:
 
== Alkalmazás a komplex számok elméletében ==
A képlet úgy interpretálható, hogy az ''e''<sup>''ix''</sup> egy egységsugarú kört rajzol ki a [[komplex számok]] síkján, ahogy ''x'' az összes valós számot végigpásztázza. Itt ''x'' az a szög, mely a pozitív valós tengely és a pontot az origóval összekötő egyenessel bezár (radiánban).
<!--
 
Az eredti bizonyítás az ''e''<sup>''z''</sup> exponenciális függvény ahol ''z'' komplex szám) és a valós argumentumú sin&nbsp;''x'' valamint a cos&nbsp;''x'' szögfüggvény [[Taylor-sor]]ba fejtésén alapul. (Lásd lejjebb).
This formula can be interpreted as saying that the function ''e''<sup>''ix''</sup> traces out the [[unit circle]] in the [[complex number]] plane as ''x'' ranges through the real numbers. Here, ''x'' is the [[angle]] that a line connecting the origin with a point on the unit circle makes with the positive real axis, measured counter clockwise and in [[radian]]s. The formula is valid only if sin and cos take their arguments in radians rather than in degrees.
 
Az Euler-képletet arra is lehet használni, hogy a komlex számokat polárkoordinátás alakban ábrázoljuk. Minden ''z'' = ''x''&nbsp;+&nbsp;''iy'' komplex szám felírható így:
The original proof is based on the [[Taylor series]] expansions of the [[exponential function]] ''e''<sup>''z''</sup> (where ''z'' is a complex number) and of sin&nbsp;''x'' and cos&nbsp;''x'' for real numbers ''x'' (see below). In fact, the same proof shows that Euler's formula is even valid for all ''complex'' numbers ''z''.
 
Euler's formula can be used to represent complex numbers in [[coordinates (elementary mathematics)|polar coordinates]]. Any complex number ''z'' = ''x''&nbsp;+&nbsp;''iy'' can be written as
 
:<math> z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,</math>
:<math> \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,</math>
 
ahol
where
:<math> x = \mathrm{Re}\{z\} \,</math> thea realvalós partrész,
:<math> y = \mathrm{Im}\{z\} \,</math> thea imaginaryképzetes partrész
:<math>|z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> the [[magnitude (mathematics)|magnitude]] ofpedig ''z'' abszolút értéke,
 
andés <math> \phi \, </math>, is the ''argument'' ofa ''z''&mdash; theargumentuma, anglea betweenszög theaz ''x'' axistengely andés the vectora ''z'' measuredvektor counterclockwiseközött. andA inszög [[radian]]spozitív &mdash;értéke whichaz isóramutató definedjárásával [[upellenkező to]]irányú, additionés ofradiánban 2πmérjük.
 
<!--
Now, taking this derived formula, we can use Euler's formula to define the [[logarithm]] of a complex number. To do this, we also use the facts that
 
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-képlet”