Wikipédia

„Euler-képlet” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
159. sor:
 
[[Q.E.D.]]
<!--
 
===Közönséges differenciálegyenletek felhasználásával===
===Using ordinary differential equations===
 
Define the function ''g''(''x'') by
Definiáljuk a ''g''(''x'') függvényt az alábbiak szerint:
 
: <math>g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{ix} .\ </math>
 
Figyelembe véve, hogy ''i'' állandó, ''g''(''x'') első és második deriváltja
Considering that ''i'' is constant, the first and second derivatives of ''g''(''x'') are
 
: <math>g'(x) = i e^{ix} \ </math>
: <math>g''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \ </math>
 
becausemivel definíció szerint ''i''<sup> 2</sup> = &minus;1 by definition. Ebből Fromaz thisalábbi thelineáris followingmásodrendű 2<sup>nd</sup>-orderközönséges [[lineardifferenciálegyenlet]] [[ordinary differential equation]] is constructedszerkeszthető:
 
: <math>g''(x) = -g(x) \ </math>
vagy
or
: <math>g''(x) + g(x) = 0. \ </math>
 
Ezt a differenciálegyneletet két lineárisan független megoldás elégíti ki:
Being a 2<sup>nd</sup>-order differential equation, there are two [[linearly independent]] solutions that satisfy it:
 
: <math>g_1(x) = \cos(x) \ </math>
: <math>g_2(x) = \sin(x). \ </math>
 
Mind a cos(''x''), mind a sin(''x'') valós függvény, melynek második deriváltja egyenlő az eredeti függvény -1-szeresével. A megoldások bármely lineáris kombinációja is megoldás, így a differenciálegyenlet általános megoldása:
Both cos(''x'') and sin(''x'') are real functions in which the 2<sup>nd</sup> derivative is identical to the negative of that function. Any [[linear combination]] of solutions to a [[Ordinary differential equation#Homogeneous linear ODEs with constant coefficients|homogeneous]] differential equation is also a solution. Then, in general, the solution to the differential equation is
 
:{|
191 ⟶ 192 sor:
|}
 
tetszőleges ''A'' és ''B'' esetén. Azonban ennek a két állandónak nem minden értéke elégíti ki a ''g''(''x'') függvény alábbi kezdeti feltételeit:
for any constants ''A'' and ''B''. But not all values of these two constants satisfy the known [[initial conditions]] for ''g''(''x''):
 
: <math>g(0) = e^{i0} = 1 \ </math>
: <math>g'(0) = i e^{i0} = i \ </math>.
 
Behelyettesítve az általános megoldást a kezdeti feltételekbe:
However these same initial conditions (applied to the general solution) are
 
: <math>g(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A \ </math>
: <math>g'(0) = -A \sin(0) + B \cos(0) = B \ </math>
 
kifejezhető az állandók értéke:
resulting in
 
: <math>g(0) = A = 1 \ </math>
: <math>g'(0) = B = i \ </math>
 
és végül:
and, finally,
 
: <math>g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x). \ </math>
 
[[Q.E.D.]]
 
==See also==
* [[Leonhard Euler]]
* [[Euler's identity]]
* [[Complex number]]
* [[Exponentiation]]
* [[Exponential function]]
* [[Trigonometry]]
-->
 
== Hivatkozások ==
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-képlet”