„Projektor mátrix” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
kicsivel több |
angolból fordítgatom, nem ártana ha egy matematikus ránézne |
||
27. sor:
bármelyik <math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & 1-a \end{pmatrix}</math> mátrix ahol <math>a^2 + bc = a</math> idempotens.
== Tulajdonságok ==
Az [[egységmátrix]] kivételével az idempotens mátrix egy [[Invertálható mátrix|invertálható]] vagy szinguláris mátrix ami azt jelenti, hogy a független sorok (és oszlopok) szám a kisebb mint a sorainak (és oszlopainak) száma. Leírva látszik, hogy <math>MM = M </math>, feltéve hogy <math> M </math> teljes rangú (nem invertálható) és beszorozva <math>M^{-1}</math> kapjuk a következőt <math>M=IM=M^{-1}MM=M^{-1}M=I</math>.
Ha az idempotens mátrixot kivonjuk az egység mátrixból, az eredmény egy szintén idempotens mátrix lesz, a következők szerint: [''I'' − ''M''][''I'' − ''M''] = ''I'' − ''M'' − ''M'' + ''M''<sup>2</sup> = ''I'' − ''M'' − ''M'' + ''M'' = ''I'' − ''M''.
Az <math>A</math> mátrix idempotens akkor és csak is akkor, ha bármilyen pozitiv ''n'' számnál <math> A^n = A </math>. Az"akkor" feltétel következik abból ha <math>n=2</math>. A "csak is akkor" feltételt [[Teljes indukció|matematikai indukcióval]] lehet bizonyítani. Az <math>n=1</math> esetében világos, hogy <math> A^1 = A </math>. Feltételezve hogy <math> A^{k-1} = A </math>, akkor <math> A^k = A^{k-1} A = A A = A </math> megfelel a követelménynek. Az indukciót alkalmazva az eredmény nyivánvaló.
Egy idempotens mátrix mindig átlósítható és a [[Sajátvektor és sajátérték|sajátértékei]] ''0'' vagy ''1''.<ref>{{cite book |first=Roger A. |last=Horn |first2=Charles R. |last2=Johnson |title=Matrix analysis |publisher=Cambridge University Press |year=1990 |page=[{{Google books|plainurl=y|id=PlYQN0ypTwEC|page=148|text=every idempotent matrix is diagonalizable}} p. 148] |isbn=0521386322 }}</ref>
Egy idempotens mátrix nyoma (főátlójában lévő elemek összege) egyenlő a mátrix rangjával és az mindig egész szám. Ez egyszerűvé teszi egy olyan mátrix rangjának illetve a nyomának megállapítását aminek az elemei nem ismertek, ami a nagy segítséget nyújt különböző [[ökonometria]]i és [[valószínűségszámítás|valószínűség]] ([[Variancia]]) számításoknál.
== Források ==
| |||