„Várható érték” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
átlag zöld linkjének javítása |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
A '''várható
== Leírása ==
Az <math>(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})</math> [[valószínűségi mező]]n értelmezett <math>X</math> [[valószínűségi változó]] '''várható értéke'''
::<math>
9 ⟶ 8 sor:
</math>
amennyiben ez az [[integrál]] létezik és véges. Ha nem létezik vagy nem véges, akkor az <math>X</math> valószínűségi változónak nincs várható értéke.
Ha <math>X</math> [[eloszlásfüggvény]]e <math>F_X</math>, akkor a várható értéket felírhatjuk a következő képlettel:
▲amennyiben ez az [[integrál]] létezik és véges. Ha nem létezik vagy nem véges, akkor az <math>X</math> valószínűségi változónak nincs várható értéke.
▲Ha <math>X</math> [[eloszlásfüggvény]]e <math>F_X</math>, akkor a várható értéket felírhatjuk a következő képlettel:
::<math>
19 ⟶ 17 sor:
</math>
Az <math>X</math> valószínűségi változó várható értékét több módon is szokták '''jelölni'''. A szakirodalomban leginkább az alábbi jelölésekkel találkozhatunk:
▲Az <math>X</math> valószínűségi változó várható értékét több módon is szokták '''jelölni'''. A szakirodalomban leginkább az alábbi jelölésekkel találkozhatunk:
::<math>
28 ⟶ 25 sor:
== Képlet abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók várható értékének kiszámítására ==
[[folytonos valószínűségi változó|Abszolút folytonos]] és [[diszkrét valószínűségi változó]]k esetén a fenti képlet konkrétabb, könnyebben számítható formát ölt.
* Ha <math>X</math> abszolút [[folytonos valószínűségi változó]] (azaz ha van [[sűrűségfüggvény]]e, amit most <math>f_X</math>-szel jelölünk, akkor az <math>X</math> várható értékét az
::<math>
37 ⟶ 34 sor:
:képlet adja meg. Az abszolút folytonos esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez az integrál létezik, és véges.
* Ha <math>X</math> [[diszkrét valószínűségi változó]], akkor a pozitív valószínűséggel felvett értékek halmaza megszámlálható. Jelölje ezeket az értékeket most <math>x_1,x_2,\dots,x_n,\dots</math>, , a hozzájuk tartozó valószínűségeket pedig rendre <math>p_1,p_2,\dots,p_n,\dots</math>, azaz <math>\mathbf{P}(X=x_i)=p_i</math>, ekkor <math>X</math> várható értékét az
::<math>
43 ⟶ 40 sor:
</math>
:képlet adja meg. A diszkrét esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez a [[
== A várható érték néhány fontosabb tulajdonsága ==
* Nem negatív valószínűségi változó várható értéke – amennyiben létezik – szintén nem negatív, azaz, ha <math>X\geq 0</math>, akkor <math>\mathbf{E}(X) \geq 0</math>.
* A várható érték [[lineáris leképezés]] az azonos [[valószínűségi mező]]n értelmezett valószínűségi változók terén, azaz ha <math>X</math> és <math>Y</math> azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók, akkor bármely <math>a,b\in \mathbb{R}</math> esetén
::<math>
57 ⟶ 54 sor:
:(Ez lényegében azon a [[mértékelmélet (matematika)|mértékelmélet]]i összefüggésen múlik, hogy a [[mérték szerinti integrá]]l a [[mértéktér]]en értelmezett [[mérhető függvény]] lineáris leképezése.)
* Független valószínűségi változók várható értéke [[multiplikatív]], azaz ha <math>X</math> és <math>Y</math> független valószínűségi változók, akkor
::<math>
66 ⟶ 63 sor:
::<math>
\mathbf{E}(g(X)) = \int\limits_{\Omega} g(X) \, \mathrm{d}\mathbf{E} =
\int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x) \, \mathrm{d}F_X(x) =
\int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x) \, dx.
</math>
74 ⟶ 71 sor:
* Az ''X'' valószínűségi változó várható értéke megegyezik az első [[Momentum (matematika)|momentumával]]. Ilyen tekintetben a momentum tekinthető a várható érték általánosításának.
* A [[matematikai statisztika]] megkülönböztet [[elméleti várható érték|elméleti]] és [[tapasztalati várható érték]]et. Az előbbi
== Források ==
* Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (
* Fazekas I. (szerk.) (
* Medgyessy P. – Takács L. (
* Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (
{{Portál|Matematika}}
[[Kategória:Matematikai statisztika|Varhato ertek]]
| |||