4 870
szerkesztés
Vandalizmus vagy teszt szerkesztés visszaállítása
| [nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
(Vandalizmus vagy teszt szerkesztés visszaállítása) |
|||
|
Egy [[függvény (matematika)|függvényt]] ''konstans''nak nevezünk, ha [[értékkészlet]]e egyelemű. Formálisan: f(x)=f(y) minden, az [[értelmezési tartomány]]ban levő x-re és y-ra.
Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az [[üres halmaz]]on van értelmezve.
Ha [[polinom]]ként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans [[fokszám (polinom)|foka]] 0, a konstans [[0 (szám)|nulla]] fokát pedig nem értelmezzük.
== Tulajdonságok ==
A konstans függvények jellemezhetők a [[függvénykompozíció]] segítségével.
A következők ekvivalensek:
* f'' : ''A'' → ''B'' konstans
* minden g, h függvényre ''g'', ''h'' : ''C'' → ''A'', ''f'' <small> o </small> ''g'' = ''f'' <small> o </small> ''h'', (a kategóriaelméletben így definiálják)
* bármely függvénnyel komponáljuk <math>f</math>-et, mindig konstans függvényt kapunk.
Ha f valós [[intervallum]]on értelmezett konstans függvény és valós értékű, akkor [[differenciálhatóság|differenciálható]], és [[derivált]]ja az azonosan 0 függvény.
Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. [[Grafikon]]ja vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes vagy egyenes.
A konstans függvények [[rendezési reláció|részbenrendezett halmazokon]] egyszerre rendezéstartók és rendezésfordítók. [[háló (algebra)|Hálókon]] ez az állítás megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai lennének.
[[topologikus tér|Topologikus terek]] bármely konstans leképezése folytonos. [[Összefüggő halmaz]]on minden lokálisan konstans függvény az egész [[halmaz]]on konstans.
Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor [[idempotencia|idempotens]].
== További összefüggések, általánosítás ==
nincs<!--Kellene egy általános iskolai tankönyv, ami a függvényeket tárgyalja. A grafikon miatt. És egy topológiakönyv a topológia részhez.-->▼
* A [[komplex függvénytan]] Liouville tétele szerint [[korlátosság|korlátos]] [[egészfüggvény]] konstans. Következmény: pólushely nélküli [[elliptikus függvény]] konstans.
A lokálisan konstans függvények a konstans függvények általánosításának tekinthetők.
* Tartalmazzon az <math>Y</math> halmaz egynél több elemet. Az <math>X</math> topologikus tér összefüggő, ha minden lokálisan konstans <math>f:X \to Y</math> függvény konstans.
* Ha az <math>A</math> topologikus tér összefüggő, és a <math>B</math> topologikus tér diszkrét, akkor a <math>g:A \to B</math> folytonos függvény konstans.
Bizonyítás: A <math>B</math> tér minden pontja nyílt-zárt. Tekintsük minden egyes pont teljes ősképét, ezek nyílt-zárt halmazok az <math>A</math> térben. Az <math>A</math> tér összefüggősége miatt azonban az összes nyílt-zárt részhalmaz az üres és az egész. Az egésznek viszont csak egy képe lehet, így az egész egy pontba képeződik, tehát a függvény konstans.
== Források ==
* Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
* Thomas-féle kalkulus I., II., III.
* Halász Gábor: Komplex függvénytan
▲
* {{planetmath reference|id=4727|title=konstans függvény}}
* [http://www.mathace.net/functions-algebra/constant konstans függvények] a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések
[[Kategória:Függvények]]
| |||