„Osztóharmonikus számok” változatai közötti eltérés
triviális, de lényegi hiba... hiányzott, hogy Ore szerint milyen osztóharmonikus számok nem léteznek
Syp (vitalap | szerkesztései) |
(triviális, de lényegi hiba... hiányzott, hogy Ore szerint milyen osztóharmonikus számok nem léteznek) |
||
|
Ore megmutatta, hogy minden [[tökéletes szám]] egyben osztóharmonikus szám is. Mivel egy ''M'' tökéletes szám osztóinak összege éppen ''2M'', ezért osztóinak átlaga ''M''(2/τ(''M'')), ahol τ(''M'')-mel ''M'' [[Osztószám-függvény|osztóinak számát]] jelöljük. Bármely ''M''-re, τ(''M'') csakkor páratlan, ha ''M'' [[négyzetszám]], hiszen egyébként ''M'' bármely ''d'' osztója párosítható egy másik ''M''/''d'' osztóval. De tudjuk, hogy egyetlen tökéletes szám sem négyzetszám: ez következik a páros tökéletes számok ismert formájából és hogy a páratlan tökéletes számok (ha léteznek ilyenek) szükségszerűen rendelkeznek olyan ''q'' osztóval, hogy ''q''<sup>α</sup> ahol α ≡ 1 (mod 4). Tehát ''M'' tökéletes számra, τ(''M'') páros, és az osztók átlaga az ''M'' szorzata a 2/τ(''M'') törttel; ezért ''M'' osztóharmonikus szám.
Ore feltevése szerint az 1-en kívül nem létezik más páratlan osztóharmonikus szám. Ha ez igaznak bizonyul, abból következik az is, hogy nem léteznek páratlan tökéletes számok.
== Korlátok és számítógépes keresések ==
| |||