Wikipédia

„Karakterisztika” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
15. sor:
=== Nullosztómentes gyűrűkben ===
 
A fogalmat másként is definiálhatjuk. Nevezetesen, mondhatjuk a legkisebb olyan k∈ℕk ∈ ℕ<sup>+</sup>-t az ''R'' karakterisztikájának, melyre ''van olyan ''a''∈U ∈ ''U'' \ {0} nem nulla elem, hogy ''ka'' = 0 (vagy pedig ''k'' = 0 -t , ha nincs ilyen szám semmilyen nem nullelem ''a''-hoz).
 
A legutóbbi átfogalmazásra a következő tétel ad lehetőséget: legyen ''R'' [[nullosztómentesség|nullosztómentes]] gyűrű, ekkor ha létezik olyan ''a''∈R ∈ ''R'' \ {0} elem és ''n''∈ℕ ∈ ℕ<sup>+</sup> szám , amelyre ''na'' = 0 , akkor bármely ''r''∈R ∈ ''R''-re ''nr'' = 0 , akkor a legkisebb ilyen legyen az ''R'' karakterisztikája, ha pedig nem létezik, akkor a 0 egész szám legyen.
 
: Ugyanis ekkor
<math> 0 = na = \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ n \ db. \end{matrix} </math> . Szorozva az utóbbi egyenlőséget bármely R-beli ''r''-rel; egyrészt <math> 0r = 0 </math> (mivel tetszőleges gyűrűben a 0 nullelem egyben [[zéruselem]] is); másrészt ezzel egyenlő <math> (na)r = \left( \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ n \ db. \end{matrix} \right) \cdot r </math> <math> = </math> <math> \begin{matrix} \underbrace{ ar+ar+\cdots+ar } \\ n \ db. \end{matrix} </math> <math> = </math> <math> a \left( \begin{matrix} \underbrace{ r+r+\cdots+r } \\ n \ db. \end{matrix} \right) </math> <math> = </math> <math> a(nr) </math> ; s mivel <math> a \ne 0 </math> , ezért a nullosztómentesség miatt <math> nr = 0 </math> .
:<math> 0 = na = \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ n \ db. \end{matrix} </math>.
Szorozva az utóbbi egyenlőséget bármely ''R''-beli ''r''-rel; egyrészt 0''r'' = 0 (mivel tetszőleges gyűrűben a 0 nullelem egyben [[zéruselem]] is); másrészt ezzel egyenlő
:<math> (na)r = \left( \begin{matrix} \underbrace{ a+a+\cdots+a } \\ n \ db. \end{matrix} \right) \cdot r = \begin{matrix} \underbrace{ ar+ar+\cdots+ar } \\ n \ db. \end{matrix} = a \left( \begin{matrix} \underbrace{ r+r+\cdots+r } \\ n \ db. \end{matrix} \right) = a(nr) </math>;
s mivel <math> a \ne 0 </math> , ezért a nullosztómentesség miatt <math> nr = 0 </math> .
 
=== Testekben ===
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Karakterisztika”