„Hatványhalmaz” változatai közötti eltérés

Tehát <math>\mathcal{P}(H)=\big\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\big\}</math>
 
==Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz -fogalmai==
Cantor elméletében, a [[naiv halmazelmélet]]ben egyáltalán nem kétséges, hogy minden ''H'' halmaz esetén a <math>x\subseteq H</math> kijelentésből képezett <math>\{x\mid x\subseteq H\}</math> halmaz ''létezik.'' Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát ''hatványhalmaz -axiómának'' nevezzük.
===Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer===
ZF-ben (és bővítéseiben) '''hatványhalmaz -axiómának''' nevezzük a következő formulát:
<math>(\forall x)(\exists y)(\forall z)((z\in y)\Leftrightarrow(z\subseteq x))</math>
 
 
===Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet===
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható ''T(x)'' tulajdonságra az {''x''|''T''(''x'')} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük ''halmaznak,'' hanem csak ''osztálynak.'' Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a ''H'' kifejezés ''halmaz,'' ha levezethető az <math>(\exists y)(H\in y)</math> formula. Ezt a formulát ''Set(H)''-val jelöljük és jelentése: "''H'' halmaz "halmaz”. Rövidítsük az <math>\{x|x\subseteq H\}</math>-t <math>\mathcal{P}(H)</math>-val. Ekkor a '''hatványhalmaz -axióma''' a következő formula:
 
<math>(\forall x)(\mathcal{S}et(x)\Rightarrow\mathcal{S}et(\mathcal{P}(x))) </math>
===Bourbaki-halmazelmélet===
 
A [[Bourbaki-csoport|francia matematikuscsoport]] által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden ''A'' formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és ''x'' változó esetén <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> jelöli az <math>(\exists y)((x\in y)\Leftrightarrow A(x))</math> formulát, melynek jelentése: "az„az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)". Ha <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> tétel, akkor azt mondjuk, hogy ''az A formula kollektivizáló az x változóban.'' A '''hatványhalmaz -axióma''' ekkor a következő formula:
 
<math>(\forall x)(\mathcal{C}oll_y(y\subseteq x))</math>