„Hatványhalmaz” változatai közötti eltérés

Nincs méretváltozás ,  12 évvel ezelőtt
a
Robot: Szomszédos írásjelek kurziválása
a (Robot: következő hozzáadása: da:Potensmængde)
a (Robot: Szomszédos írásjelek kurziválása)
ahol a <math>\subseteq</math> szimbólum a részhalmaz-reláció jele.
===Példa===
Ha ''H'' az {''a,'',''b,'',''c''} háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:
* nulla elemű részhalmaza az [[üres halmaz]] (jelben: {}, vagy <math>\emptyset</math>)
* egyelemű részhalmazai az {''a''}, a {''b''} és a {''c''}
 
==Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz fogalmai==
Cantor elméletében, a [[naiv halmazelmélet|naiv halmazelméletben]] egyáltalán nem kétséges, hogy minden ''H'' halmaz esetén a <math>x\subseteq H</math> kijelentésből képezett <math>\{x\mid x\subseteq H\}</math> halmaz ''létezik.''. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát ''hatványhalmaz axiómának'' nevezzük.
===Zermelo-Fraenkel axiómarendszer===
ZF-ben (és bővítéseiben) '''hatványhalmaz axiómának''' nevezzük a következő formulát:
ahol <math>z\subseteq x</math> jelöli az <math>(\forall u)((u\in z)\Rightarrow (u\in x))</math> formulát.
===Neumann-Bernays-Gödel halmazelmélet===
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható ''T(x)'' tulajdonságra az {''x''|''T''(''x'')} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük ''halmaznak,'', hanem csak ''osztálynak.''. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a ''H'' kifejezés ''halmaz,'', ha levezethető az <math>(\exists y)(H\in y)</math> formula. Ezt a formulát ''Set(H)''-val jelöljük és jelentése: "''H'' halmaz ". Rövidítsük az <math>\{x|x\subseteq H\}</math>-t <math>\mathcal{P}(H)</math>-val. Ekkor a '''hatványhalmaz axióma''' a következő formula:
 
<math>(\forall x)(\mathcal{S}et(x)\Rightarrow\mathcal{S}et(\mathcal{P}(x))) </math>
 
===Bourbaki-halmazelmélet===
A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden ''A'' formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és ''x'' változó esetén <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> jelöli az <math>(\exists y)((x\in y)\Leftrightarrow A(x))</math> formulát, melynek jelentése: "az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)". Ha <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> tétel, akkor azt mondjuk, hogy ''az A formula kollektivizáló az x változóban.''. A '''hatványhalmaz axióma''' ekkor a következő formula:
 
<math>(\forall x)(\mathcal{C}oll_y(y\subseteq x))</math>
* '''Tétel''' – Ha ''H'' [[véges halmaz]] és elemszáma az ''n'' természetes szám, akkor ''H'' hatványhalmazának [[számosság|számossága]] <math>| \mathcal{P}(H) | = 2^n</math>.
 
:''Megjegyzés:'': Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló <math>2^H:=\mathcal{P}(H)</math> hatványozásra utaló félrevezető jelölést (ui. <math>|2^H| = 2^{|H|}</math>, ahol a baloldali „hatványozás” egy jelölés, míg a jobboldali egy művelet).
* '''Tétel''' – (''([[Cantor-tétel]])'') – Bármely ''H'' halmaz esetén <math>\mathcal{P}(H)</math> számossága nagyobb ''H'' számosságánál.
 
Jelben: <math>| \mathcal{P}(H) | > |H|</math>.
==Felhasznált irodalom==
===Bourbaki halmazelméletéről===
* Kristóf János, ''Az analízis logikai alapjai,'', ELTE jegyzet, 1998.
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki-szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.])
[[Kategória:Halmazelmélet]]
* Kristóf János, ''Az analízis elemei. I.,'', ELTE jegyzet, 1996.
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki-szerint. [http://www.cs.elte.hu/~krja A teljes szöveg elektronikus formában itt.])
* Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
51 479

szerkesztés