Wikipédia

„Waring-probléma” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
(Összes ellenőrzésre váró szerkesztés megjelenítése)
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Kope (vitalap | szerkesztései)
2 429 szerkesztés
bevezetés javítása
Kope (vitalap | szerkesztései)
2 429 szerkesztés
G(k)
44. sor:
Erre végül Hilbert adott egy egzisztencia-bizonyítást, a Waring-problémára adott bizonyításának első lépéseként.
 
== ''G''(''k'') definíciója ==
Már Hardy és Littlewood észrevette, hogy ''g''(''k'') pontos értékét nagyban befolyásolja kis számok előállíthatósága, ekkor ugyanis csak kevés hatvány van, amivel előállíthatnánk. Nagyobb számok azonban kevesebb hatvánnyal is előállíthatók. Például ''g''(3)=9, de csak 23 és
és 239 felírásához kell mindenképpen 9 köbszám. Ezért bevezették a ''G''(''k'') értéket, ami ea legkisebb olyan ''m'' számot jelenti, hogy minden elég nagy természetes szám előáll ''m'' darab ''k''-adik hatvány összegeként. Így például ''G''(2)=4, mert végtelen sok szám (a <math>4^x(8y+7)</math> alakú számok) nem állíthatóak elő három négyzetszám összegeként.
 
Már kis ''k'' esetén is elég bizonytalan ''G''(''k'') értéke. Például G(3) -ról csak annyit tudunk hogy: <math>4 \leq G(3) \leq 7</math>. Tudjuk, hogy <math>G(k)\geq k+1</math> minden ''k''>1-re és <math>G(2^k)\geq 2^{k+2}</math>, ha <math>k\geq 3</math>, ugyanis a <math>(2^{k+3}-1)(2^{k+2})^n</math> alakú számokhoz legalább ennyi <math>2^k</math>-adik hatvány kell. Pontos értékétértéket eddig csak a ''G''(2)-nek=4 és ''G''(4)=16-nekot tudjukismerjük. De azt már tudjuk hogy nagy k esetén g(k) jóval nagyobb mint G(k): <math>G(k)<6k\log{k}</math> ha k>1.▼
== G(k) bizonytalansága ==
 
▲Már kis k esetén is elég bizonytalan G(k) értéke. Például G(3) ról csak annyit tudunk hogy: <math>4 \leq G(3) \leq 7</math>. Pontos értékét eddig csak G(2)-nek és G(4)-nek tudjuk. De azt már tudjuk hogy nagy k esetén g(k) jóval nagyobb mint G(k): <math>G(k)<6k\log{k}</math> ha k>1.
 
== Alsó becslés G(k)-ra ==
 
<math>G(k) \geq k+1</math> ha k>1.
 
[[Kategória:Számelmélet]]
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Waring-probléma”