„Osztóharmonikus számok” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
triviális, de lényegi hiba... hiányzott, hogy Ore szerint milyen osztóharmonikus számok nem léteznek
Nincs szerkesztési összefoglaló
21. sor:
Ore megfigyelte, hogy bármilyen ''M'' egész számra az osztók harmonikus és a [[számtani közép]]ének szorzata ''M''-mel egyezik meg, ahogy az a definíciókból is következik. Így tehát, ''M'' osztóharmonikus, osztói ''k'' harmonikus közepével, [[csakkor]] ha az osztóinak átlaga megegyezik ''M'' és az 1/''k'' egységtört szorzatával.
 
Ore megmutatta, hogy minden [[tökéletes szám]] egyben osztóharmonikus szám is. Mivel egy ''M'' tökéletes szám osztóinak összege éppen ''2M'', ezért osztóinak átlaga ''M''(2/τ(''M'')), ahol τ(''M'')-mel ''M'' [[Osztószám-függvény|osztóinak számát]] jelöljük. Bármely ''M''-re, τ(''M'') csakkorakkor és csak akkor páratlan, ha ''M'' [[négyzetszám]], hiszen egyébként ''M'' bármely ''d'' osztója párosítható egy másik ''M''/''d'' osztóval. De tudjuk, hogy egyetlen tökéletes szám sem négyzetszám: ez következik a páros tökéletes számok ismert formájából és hogy a páratlan tökéletes számok (ha léteznek ilyenek) szükségszerűen rendelkeznek olyan ''q'' osztóval, hogy ''q''<sup>α</sup> ahol α ≡ 1 (mod 4). Tehát ''M'' tökéletes számra, τ(''M'') páros, és az osztók átlaga az ''M'' szorzata a 2/τ(''M'') törttel; ezért ''M'' osztóharmonikus szám.
 
Ore feltevése szerint az 1-en kívül nem létezik más páratlan osztóharmonikus szám. Ha ez igaznak bizonyul, abból következik az is, hogy nem léteznek páratlan tökéletes számok.
34. sor:
 
*{{cite web
| author = Bogomolny, Alexander
| title = An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer
| url = http://www.cut-the-knot.org/proofs/average.shtml
| accessdate = 2006-09-10}}
 
*{{cite journal
| author = Cohen, Graeme L.
| url =http://www.ams.org/mcom/1997-66-218/S0025-5718-97-00819-3/S0025-5718-97-00819-3.pdf
| title = Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean
| journal = [[Mathematics of Computation]]
| volume = 66
| pages = 883–891
| year = 1997
| doi = 10.1090/S0025-5718-97-00819-3
| issue = 218}}
 
*{{cite journal
| last1=Cohen
| first1=Graeme L.
| last2=Sorli
| first2=Ronald M.
| year=2010
| pages=2451
| title=Odd harmonic numbers exceed 10<sup>24</sup>
| volume=79
| doi= 10.1090/S0025-5718-10-02337-9
| journal=Mathematics of Computation
| issn=0025-5718
| issue=272}} Posted electronically on April 9, 2010; to appear in print.
 
*{{cite web
| author = Goto, Takeshi
| url = http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/harmonic-e.html
| title = (Ore's) Harmonic Numbers
| accessdate = 2006-09-10}}
 
* {{cite book |last=Guy | first=Richard K. | authorlink=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 | at=B2 }}
 
*{{cite journal
| title = On Divisors of Odd Perfect Numbers
| author = Muskat, Joseph B.
| journal = Mathematics of Computation
| volume = 20
| issue = 93
| year = 1966
| pages = 141–144
| doi = 10.2307/2004277
| publisher = American Mathematical Society
| jstor = 2004277}}
 
*{{cite journal
| author = Ore, Øystein
| authorlink = Øystein Ore
| title = On the averages of the divisors of a number
| journal = [[American Mathematical Monthly]]
| volume = 55
| year = 1948
| pages = 615–619
| doi = 10.2307/2305616
| issue = 10
| publisher = Mathematical Association of America
| jstor = 2305616}}
 
* {{MathWorld |title=Harmonic Divisor Number |urlname=HarmonicDivisorNumber}}