„Osztóharmonikus számok” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
(triviális, de lényegi hiba... hiányzott, hogy Ore szerint milyen osztóharmonikus számok nem léteznek)
 
Ore megfigyelte, hogy bármilyen ''M'' egész számra az osztók harmonikus és a [[számtani közép]]ének szorzata ''M''-mel egyezik meg, ahogy az a definíciókból is következik. Így tehát, ''M'' osztóharmonikus, osztói ''k'' harmonikus közepével, [[csakkor]] ha az osztóinak átlaga megegyezik ''M'' és az 1/''k'' egységtört szorzatával.
 
Ore megmutatta, hogy minden [[tökéletes szám]] egyben osztóharmonikus szám is. Mivel egy ''M'' tökéletes szám osztóinak összege éppen ''2M'', ezért osztóinak átlaga ''M''(2/τ(''M'')), ahol τ(''M'')-mel ''M'' [[Osztószám-függvény|osztóinak számát]] jelöljük. Bármely ''M''-re, τ(''M'') csakkorakkor és csak akkor páratlan, ha ''M'' [[négyzetszám]], hiszen egyébként ''M'' bármely ''d'' osztója párosítható egy másik ''M''/''d'' osztóval. De tudjuk, hogy egyetlen tökéletes szám sem négyzetszám: ez következik a páros tökéletes számok ismert formájából és hogy a páratlan tökéletes számok (ha léteznek ilyenek) szükségszerűen rendelkeznek olyan ''q'' osztóval, hogy ''q''<sup>α</sup> ahol α ≡ 1 (mod 4). Tehát ''M'' tökéletes számra, τ(''M'') páros, és az osztók átlaga az ''M'' szorzata a 2/τ(''M'') törttel; ezért ''M'' osztóharmonikus szám.
 
Ore feltevése szerint az 1-en kívül nem létezik más páratlan osztóharmonikus szám. Ha ez igaznak bizonyul, abból következik az is, hogy nem léteznek páratlan tökéletes számok.
 
*{{cite web
| author = Bogomolny, Alexander
| title = An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer
| url = http://www.cut-the-knot.org/proofs/average.shtml
| accessdate = 2006-09-10}}
 
*{{cite journal
| author = Cohen, Graeme L.
| url =http://www.ams.org/mcom/1997-66-218/S0025-5718-97-00819-3/S0025-5718-97-00819-3.pdf
| title = Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean
| journal = [[Mathematics of Computation]]
| volume = 66
| pages = 883–891
| year = 1997
| doi = 10.1090/S0025-5718-97-00819-3
| issue = 218}}
 
*{{cite journal
| last1=Cohen
| first1=Graeme L.
| last2=Sorli
| first2=Ronald M.
| year=2010
| pages=2451
| title=Odd harmonic numbers exceed 10<sup>24</sup>
| volume=79
| doi= 10.1090/S0025-5718-10-02337-9
| journal=Mathematics of Computation
| issn=0025-5718
| issue=272}} Posted electronically on April 9, 2010; to appear in print.
 
*{{cite web
| author = Goto, Takeshi
| url = http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/harmonic-e.html
| title = (Ore's) Harmonic Numbers
| accessdate = 2006-09-10}}
 
* {{cite book |last=Guy | first=Richard K. | authorlink=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 | at=B2 }}
 
*{{cite journal
| title = On Divisors of Odd Perfect Numbers
| author = Muskat, Joseph B.
| journal = Mathematics of Computation
| volume = 20
| issue = 93
| year = 1966
| pages = 141–144
| doi = 10.2307/2004277
| publisher = American Mathematical Society
| jstor = 2004277}}
 
*{{cite journal
| author = Ore, Øystein
| authorlink = Øystein Ore
| title = On the averages of the divisors of a number
| journal = [[American Mathematical Monthly]]
| volume = 55
| year = 1948
| pages = 615–619
| doi = 10.2307/2305616
| issue = 10
| publisher = Mathematical Association of America
| jstor = 2305616}}
 
* {{MathWorld |title=Harmonic Divisor Number |urlname=HarmonicDivisorNumber}}