„Mértani közép” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
"Közepek"-re vezető link átirányítva a "Matematikai közepek" lapra |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
A '''mértani közép''' a [[matematika|matematikában]] a [[
== Általános definíció ==
8. sor:
Adott <math>a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R}_0^+</math> nemnegatív valós számok mértani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:
<br /><center><math>\min(a_i)\leq G(a_1;...;a_n)\leq\max(a_i)</math></center>
== Súlyozott mértani közép ==
Ha <math>a_1,\, a_2,\,\, ...,\, a_n</math> nemnegatív számok,
<math>p_1,\, p_2,\,\, ...,\, p_n</math> pedig olyan nemnegatív számok
amikre
<center><math>p_1+\cdots+p_n=1</math></center>
teljesül, akkor a számok (<math>p_1,\dots,p_n</math>súlyokkal súlyozott) súlyozott mértani közepe az
<center><math>a_1^{p_1}\cdots a_n^{p_n}</math></center>
szám.
A közönséges definíció ennek speciális esete, amikor
<center><math>p_1=\cdots=p_n=\frac{1}{n}.</math></center>
==Geometriai interpretáció==
Az <math>a</math> és <math>b</math> számok mértani közepe az a szám, ami annak a négyzetnek az oldalhosszúsága, aminek területe egyenlő az <math>a</math> és <math>b</math> oldalú téglalap területével.
37 ⟶ 39 sor:
Amennyiben a sorozat összes tagja pozitív, mértani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának mértani közepe. Általában <math>a_n</math> tag az <math>a_{n-k}</math> és <math>a_{n+k}</math> tagok mértani közepe, ha <math>n>k</math> pozitív egészek.
A mértani és a [[számtani közép]] egyenlőtlensége:
{{Bővebben|Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség}}
:<math>x_\mathrm{G}\leq x_\mathrm{A}</math>
56 ⟶ 58 sor:
* [[Befogótétel]]
* [[Magasságtétel]]
==Források==
*{{mathworld|urlname=GeometricMean|title=Mértani közép}}
| |||