„Prímhézag” változatai közötti eltérés

2017 márciusában az ismert legnagyobb prímhézag azonosítható [[valószínű prím]] végekkel {{szám|5103138}} hosszúságú, a hozzá tartozó 216849- jegyű valószínű prímeket Robert W. Smith találta, ennek a jósága M=10,2203.<ref>http://trnicely.net/index.html#TPG</ref> A legnagyobb ismert prímhézag, aminek a szélein bizonyítottan prímszámok találhatók, {{szám|1113106}} hosszúságú, a szélein lévő 18662- jegyű prímszámokat P. Cami, M. Jansen és J. K. Andersen találták meg.<ref name=top20 /><ref>[http://primerecords.dk/primegaps/gap1113106.htm A proven prime gap of 1113106]</ref>

Egy prímhézag ''jóságán'' (''merit'') a ''g''_''n'' / ln(''p''_''n'') arány értendő. 1931-ben E. Westzynthius bebizonyította, hogy a prímhézagok logaritmikusnál gyorsabban nőnek. Tehát,<ref>{{Citation |last=Westzynthius |first=E. |title=Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind |language=de|journal=Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors |volume=5 |issue= |year=1931 |pages=1–37 | zbl=0003.24601 | jfm=57.0186.02 }}.</ref>

| 35,310308 || 1476 || 19 || 1425172824437699411 || 2009 || Tomás Oliveira e Silva

| 34,975687 || 1442 || 18 || 804212830686677669 || 2005 || Siegfried Herzog

[[Guido Hoheisel|Hoheisel]] (1930) mutatta meg elsőként,<ref name="Hoheisel">{{cite journal |first=G. |last=Hoheisel |title=Primzahlprobleme in der Analysis |journal=Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |volume=33 |issue= |pages=3–11 |year=1930 | jfm=56.0172.02 }}</ref> hogy létezik egy θ < 1 konstans, amire

Hoheisel a θ értékét 32999/33000-ra tette. Ezt [[Hans Heilbronn|Heilbronn]] 249/250-re javította,<ref name="Heilbronn">{{cite journal |first=H. A. |last=Heilbronn |title=Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel |journal=Mathematische Zeitschrift |volume=36 |issue=1 |pages=394–423 |year=1933 |doi=10.1007/BF01188631 }}</ref> majd [[Nikolai Chudakov|Chudakov]] θ = 3/4 + ε-re, bármilyen ε > 0-ra.<ref name="Tchudakoff">{{cite journal |first=N. G. |last=Tchudakoff |title=On the difference between two neighboring prime numbers |journal=Math. Sb. |volume=1 |issue= |pages=799–814 |year=1936 |doi= }}</ref>

Ingham eredményének közvetlen következménye, hogy ''n''³ és (''n'' + 1)³ között mindig van prímszám, ha ''n'' [[elegendően nagy]].<ref>{{cite journal | last=Cheng | first=Yuan-You Fu-Rui | title=Explicit estimate on primes between consecutive cubes | zbl=1201.11111 | journal=Rocky Mt. J. Math. | volume=40 | pages=117–153 | year=2010 | doi=10.1216/rmj-2010-40-1-117}}</ref> A [[Lindelöf-sejtés]] implikálná, hogy Ingham képlete bármilyen pozitív ''c'' számra igaz, de még ez sem lenne elég annak igazolására, hogy elegendően nagy ''n''-re mindig van prímszám ''n''² és (''n'' + 1)² között (lásd [[Legendre-sejtés]]). Ennek igazolására erősebb eredményre, például a [[Cramér-sejtés]]re volna szükség.

[[Martin Huxley|Huxley]] 1972-ben megmutatta, hogy θ választható például θ = 7/12 = 0,58(3)-ra is.<ref name="huxley">{{cite journal |last=Huxley |first=M. N. |year=1972 |title=On the Difference between Consecutive Primes |journal=Inventiones Mathematicae |volume=15 |issue=2 |pages=164–170 |doi=10.1007/BF01418933 }}</ref>

Baker, [[Glyn Harman|Harman]] és [[Pintz János|Pintz]] 2001-es eredménye szerint θ levihető akár 0,525-ig.<ref name="baker">{{cite journal |last=Baker |first=R. C. |first2=G. |last2=Harman |first3=J. |last3=Pintz |year=2001 |title=The difference between consecutive primes, II |journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=83 |issue=3 |pages=532–562 |doi=10.1112/plms/83.3.532 }}</ref>

egyenlőtlenség végtelen sok ''n'' értékre igaz lesz, továbbfejlesztve ezzel Erik Westzynthius<!-- finn aktuárius, 1901–1980 --> és [[Erdős Pál]] eredményeit. Később megmutatta, hogy bármely ''c''&nbsp;<&nbsp;''e''^γ konstans jó lehet, ahol γ az [[Euler–Mascheroni-állandó]]. A ''c'' konstans értékét 1997-ben javították bármely 2''e''^γ-nál kisebb értékre.<ref>{{cite journal |first=J. |last=Pintz |title=Very large gaps between consecutive primes |journal=[[Journal of Number Theory|J. Number Theory]] |volume=63 |issue=2 |pages=286–301 |year=1997 |doi=10.1006/jnth.1997.2081 }}</ref>

Erdős Pál {{szám|10000}} dollárt ajánlott annak bizonyításáért vagy cáfolatáért, hogy a fenti egyenlőtlenség ''c'' konstansát bármilyen nagyra lehet választani.<ref>Erdős, Some of my favourite unsolved problems</ref> Ezt 2014-ben sikerült igazolni a Ford–Green–Konyagin–Tao szerzőknek, és tőlük függetlenül James Maynardnak.<ref>{{cite journal | first1=Kevin | last1=Ford | first2=Ben | last2=Green | first3=Sergei | last3=Konyagin | first4=Terence | last4=Tao | year=2016 | arxiv=1408.4505 | title=Large gaps between consecutive prime numbers | journal=[[Ann. of Math.]] | volume=183 | issue=3 | pages=935–974 | doi=10.4007/annals.2016.183.3.4 | mr=3488740}}</ref><ref>{{cite journal | first=James | last=Maynard | year=2016 | volume=183 | issue=3 | arxiv=1408.5110v1 | title=Large gaps between primes | pages=915–933 | doi=10.4007/annals.2016.183.3.3 | mr = 3488739 | journal=[[Ann. of Math.]]}}</ref>

Még jobb eredmények érhetők el, ha a [[Riemann-sejtés]]t igaznak feltételezzük. [[Harald Cramér]] igazolta,<ref name="Cramér1936">{{Citation |last=Cramér |first=Harald |title=On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf |journal=[[Acta Arithmetica]] |volume=2 |year=1936 |pages=23–46 }}</ref> hogy a Riemann-sejtésből következik, hogy a ''g''_''n'' prímhézagra teljesül, hogy

Későbbi feltételezése szerint a prímhézagok még kisebbek. A [[Cramér-sejtés]] durván azt fogalmazza meg, hogy

Ha ez a sejtés igaz, akkor a <math>g_n = p_{n+1} - p_n </math> függvény teljesíti a <math> g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n \text{ minden } n > 4. </math><ref>{{citation |last=Sinha |first=Nilotpal Kanti |title=On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture |journal= |arxiv=1010.1399 |year=2010 |pages=1–10 |url=http://arxiv.org/abs/1010.1399}}.</ref> Következne belőle a [[Cramér-sejtés]] egy erős formája, de inkonzisztens lenne a Granville és Pintz által megfigyelt heurisztikákkal,<ref>{{citation |last=Granville |first=A. |title=Harald Cramér and the distribution of prime numbers |journal=Scandinavian Actuarial Journal |volume=1 |issue= |year=1995 |pages=12–28 |url=http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf}}.</ref><ref>{{citation |last=Granville |first=Andrew |title=Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers |journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians |volume=1 |year=1995 |pages=388–399 |url=http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/icm.pdf}}.</ref><ref name="Pintz07">{{citation|last=Pintz|first=János|title=Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes|journal=Funct. Approx. Comment. Math.|volume=37|issue=2|year=2007|pages=232–471|url=http://projecteuclid.org/euclid.facm/1229619660}}</ref> melyek szerint <math> g_n > \frac{2-\varepsilon}{e^\gamma}(\log p_n)^2</math> végtelen sokszor bármely <math>\varepsilon>0,</math>-ra, ahol <math>\gamma</math> az [[Euler–Mascheroni-állandó]]t jelöli.

* {{cite book |last=Guy | first=Richard K. | authorlink=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 }}

* {{cite journal | first=Preda | last=Mihăilescu | authorlink=Preda Mihăilescu | journal=Newsletter of the European Mathematical Society | number=92 | date=June 2014 | issn=1027-488X | title=On some conjectures in additive number theory | pages=13–16 | url=http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2014-06-92.pdf | doi=10.4171/NEWS }}