„Matematikafilozófia” változatai közötti eltérés

a
a (→‎top: File: → Fájl:)
* A '''XIX. század közepe''' a modern matematikafilozófia hajnala. Cauchy és Weierstrass munkássága révén megindul egy új program, melynek célja a matematika megtisztítása a zavart okozó rejtett előfeltevésektől és homályos definícióktól. Ez a ''„szigorúság forradalma”.''
* '''1880-1900''' – A végső elmélet keresése. [[Cantor]] megalkotja a [[halmazelmélet]]et, [[Gottlob Frege|Frege]] pedig a modern formális logikát és a formális axiomatikus aritmetikát (ez utóbbit vele egyidőben [[Peano]] is megteszi). Uralkodóvá válik a ''megalapozási paradigma'', mely egy olyan elmélet keresését jelenti, melyen belül a matematika összes ága egyben tárgyalható.
* A '''XX. század eleje'''. Köztudomásúvá válik Cantor halmazelméletének és Frege aritmetikájának ellentmondásossága. A ''megalapozási elv első válsága''. Az ellentmondások kiküszöbölését [[Bertrand Russell|Russell]] vállalja magára és megalkotja a típuselméletet. Az intuicionisták [[Brouwer]] vezetésével a klasszikus logika túl engedékeny szabályait és formális nyelvi voltát okolja az ellentmondások fellépéséért. [[David Hilbert|Hilbert]] köztes megoldásként megfogalmazza a finitizmus ideológiáját, mely szerint a matematika formális nyelvi elméletek összessége, melyek ellentmondásmentességét egy kitüntetett elmélet, a véges (finit) matematika alapján lehet igazolni. Az elméletek abszolút ellentmondásmentességét ezután az aritmetika tényeinek nagyfokúnagy fokú kétségbevonhatatlansága biztosítaná.
* A '''harmincas évek'''. A XX. század harmincas éveiben sorra születnek azok a negatív eredmények, amelyek kétségessé teszik a hilberti finitizmus és a russelli formalizmus tarthatóságát. [[Gödel]] első és második nemteljességi tétele súlyos csapást mér mindkét vezető ideológiára. ''A megalapozási elv második válsága.''
 
[[Platón]] a nevezetes barlanghasonlatban írja le, az ideákhoz való fölemelkedést. Minden, amit szemünkkel látunk, amit érzékeinkkel tapasztalunk csak a tökéletlen árnykép, árnyékvilág. Ahogy a barlangban levő fényforrás a mesterséges tárgyak árnyékát a falra vetíti, valóságosnak tartják a bent élő emberek, ugyanúgy látjuk mi a világ dolgait. Világunk csak tökéletlen mása a valódi létezők, az ideák világának. Még inkább így van ez a matematikai objektumokkal. A homokba rajzolt háromszög csak földi mása „a háromszögnek”.
 
A matematikára jellemző egyfajta sajátos, nagyfokúnagy fokú objektivitás. Akárki is tesz két kavics mellé még kettőt, akkor négy kavicsot fog kapni. Bármelyik matematikus is végezzen el egy számítást, ugyanazon feltételek esetén, ugyanazon szabályok betartásával ugyanazt az eredményt fogja kapni. Ha mégsem, akkor egy idő után kiderül, hogy hibázott, vagy mégsem teljesen ugyanazokat a szabályokat alkalmazta.
 
Ez a nagyfokúnagy fokú objektivitás és a természettudományokban és a mindennapi életben történő egyedülálló hatékonyság a matematikusok nagy része számára egyértelmű jele annak, hogy a matematikai objektumok tőlünk független létező dolgok; bár nem fizikai tárgyakként, de objektív létezőként világunk részei. Ezt az ontológiai állásfoglalást nevezhetjük '''matematikai realizmus'''nak (más tudományok esetén, például a fizika, vagy az etika esetén szintén beszélhetünk realizmusról) illetve (kifejezetten a matematikára vonatkoztatva) '''platonizmus'''nak.
 
Figyeljünk föl arra, hogy a realizmus fő problematikája nem az, hogy a matematikai objektumok ''hol'' vannak. Nyilvánvaló ugyanis, hogy például a szabadsághoz való jog, a Magyar Köztársaság Alkotmánybírósága, objektív módon létezik, tulajdonságaik, viselkedésük vizsgálhatóak, elemezhetőek. A platonizmus alapfeltevése, hogy a matematikai objektumokra vonatkozó állítások igaz és hamis volta tőlünk függetlenül meghatározott. Minden kijelentés vagy igaz, vagy hamis, legfeljebb ez az igazságérték az ember számára nem elérhető. A platonizmus számára a kétértékűség elve evidencia. A platonista szemlélete tehát az, hogy a matematikai igazságokat feltárjuk, megállapítjuk, felfedezzük mintsem feltaláljuk vagy megalkotjuk.
=== H. Putnam: realizmus, ami nem platonizmus ===
 
[[Hilary Putnam|Putnam]] szerint lehet úgy a matematika állításainak előre meghatározott értékét biztosítani, hogy közben nem kell feltennünk a matematikai tárgyak létezését. Putnam ezt a [[lehetséges világok szemantikája|lehetséges világok szemantikájának]], a modális logika szemantikájának gondolata alapján állítja. [[Gödel teljességi tétele]] értelmében ugyanis egy T elsőrendű elmélet akkor és csak akkor ellentmondásmentes, ha van modellje. Ha tekintjük a T elmélettől kissé eltérő (kissé különböző axiomatizálású) elméletek összes lehetséges modelljeinek összességét, akkor T modellje ebben egy olyan ''lehetséges világ'', melyben T axiómái igazak. Természetesen mindannyian óhajtjuk, hogy a matematika (gödeli értelemben vett valódi matematika) ellentmondásmentes legyen, így legyen modellje. Ez azt jelent, hogy axiómarendszere valamely ''lehetséges világ''ban igaz, azaz a matematika tételei lehetséges igazságok, a matematika objektumai pedig modális egzisztenciával bírnak. Putnam állítása szerint tehát a matematika a lehetőségek és lehetetlenségek tudománya, azt mondja meg, mely állítások lehetségesek és melyek nem. Ez nagyfokúnagy fokú objektivitást és az igazságértékek terén teljes meghatározottságot biztosít a matematikai tételeknek, mindamellett nem kell feltételeznünk semmilyen valós létezést.
 
== Formalizmus ==
165 521

szerkesztés