„Σ-algebra” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
a
=== Összefüggés más struktúratípusokkal ===
 
A szigmaσ-algebrához legközelebbi struktúrafajta a [[λ-rendszer]] fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a szigmaσ-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λ-rendszer és π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben.<ref>Ambar N. Sengupta: ''[http://www.math.lsu.edu/~sengupta/7312s02/sigmaalg.pdf Sigma Algebras]'' ([[Portable Document Format|PDF]]-jegyzet, v. 2007. augusztus 5. 23:51.).</ref>
 
Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy <big>''A''</big> véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az [[halmaztest|egyszerű halmaztest]] fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a [[topologikus tér]] fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény <ref>Pl. az Ψ = {1,2} halmazon az <big>''A''</big> = <nowiki>{∅, {1}, {1,2}}</nowiki> halmaz egy [[topologikus tér|topológiát]] alkot, zárt az unióra és a metszetképzésre, de nem alkot σ-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja <big>''A''</big>-nak.</ref>
=== Megszámlálható metszetképzésre való zártság ===
 
A halmazalgebrákhoz képest egy szigmaalgebraσ-algebra a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tényezős metszetképzésre is zárt. E kijelentés alapja a De Morgan-törvény általánosítása végtelen unióra/metszetre: ha I tetszőleges [[halmazrendszer|indexhalmaz]], akkor
<center> <math> \overline{ \bigcap_{i \in I} A_{i} } = \bigcup_{i \in I} \overline{A}_{i} </math>. </center>
 
<center> <math> \bigcap_{i \in I} A_{i} = \overline{ \bigcup_{i \in I} \overline{A}_{i} } </math>. </center>
 
Ha mármost szigmaσ-algebrában vagyunk, azaz A<sub>0</sub>, A<sub>1</sub>, …, A<sub>n</sub>, … legfeljebb megszámlálható sok tagú <big>''A''</big>-beli halmazsorozat, akkor a fentieknek megfelelően
<center> <math> \bigcap_{i = 0}^{\infty} A_{i} = \overline{ \bigcup_{i=0}^{\infty} \overline{A}_{i} } </math>; </center>
 
Ha <big>''A''</big> szigmaσ-algebra, akkor <font style="text-decoration:overline">A</font><sub>i</sub>∈<big>''A''</big>-nak minden i∈'''N'''-re, és így utóbbi komplementerhalmazok diszjunkt uniója is eleme <big>''A''</big>-nak, [[QED|■ QED]].
 
=== Leszűkítés ===
 
Legyen Ω tetszőleges halmaz, Λ⊆Ω és <big>''A''</big> szigmaσ-algebra az Ω felett. Legyen továbbá <big>''A''</big><sub>|Λ</sub> := <big>{</big>'''X'''∩Λ | '''X'''∈<big>''A''</big><big>}</big>. Ekkor (Λ, <big>''A''</big><sub>|Λ</sub>) mérhető tér az Ω felett, amit az (Ω <big>''A''</big>) tér Λ-ra vonatkozó '''leszűkítés'''ének nevezünk és (Ω <big>''A''</big>)<sub>|Λ</sub> jelöl.
 
=== Generált algebra ===
 
<center>''Fő szócikk'': [[Generált szigmaσ-algebra]]</center>
 
Igen fontos eszköz a szigmaσ-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció:
 
'''Tétel''': Legyen Ω tetszőleges halmaz, és <big>''G''</big>⊆''P''(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ω feletti σ(<big>''G''</big>) szigmaσ-algebra, amelynek <big>''A''</big> minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb ([[legkisebb elem|legkisebb]]) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó szigmaσ-algebrának a részhalmaza (további részletek a fő szócikkben).
 
=== Szorzattér ===
# Tetszőleges nemüres Ω halmaz esetén a teljes Ω⊆''P''(Ω) halmaz is halmazalgebra, az Ω feletti '''teljes σ-algebra'''.
 
# Tetszőleges véges Ω halmaz feletti halmazalgebra mindig szigmaσ-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti szigmaσ-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így például az Ω := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, Ω} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az Ω egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges Ω esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még [[atomhalmaz]].
# Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a [[generált σ-algebra]] c. fejezetben.