„Mértani közép” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
38. sor:
 
Amennyiben a sorozat összes tagja pozitív, mértani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának mértani közepe. Általában <math>a_n</math> tag az <math>a_{n-k}</math> és <math>a_{n+k}</math> tagok mértani közepe, ha <math>n>k</math> pozitív egészek.
===Kapcsolat a számtani középpel és a logaritmussal===
Ha egymással nem egyenlő adatokat úgy változtatunk, hogy megmaradjon a számtani közepük, akkor mértani közepük mindig csökken.<ref>{{cite journal |last=Mitchell |first=Douglas W. |title=More on spreads and non-arithmetic means |journal=[[The Mathematical Gazette]] |volume=88 |year=2004 |pages=142–144 }}</ref>
 
A mértani és a [[számtani közép]] egyenlőtlensége:
55 ⟶ 57 sor:
 
Ezt néha log-középnek nevezik, ami nem tévesztendő össze a [[logaritmikus közép]]pel. Ez azt jelenti, hogy vesszük a logaritmusokat, kiszámoljuk a számtani közepüket, majd ennek vesszük az exponenciálisát, az eredeti számok mértani közepét kapjuk. Egyes programozási nyelvek előnyben részesítik ennek az implementációját, mert így elkerülhető az alul- és a túlcsordulás is.
===Kapcsolat a számtani és a harmonikus középpel===
 
Fennáll még az összefüggés:
 
68 ⟶ 70 sor:
ahol <math>h_{n+1}</math> a két sorozat előző értékeinmek harmonikus közepe, akkor <math>a_n</math> és <math>h_n</math> tart az <math>x</math> és <math>y</math> mértani közepéhez.
 
A [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] biztosítja, hogy a két sorozat határértéke megegyezzen, és emellett az is belátható, hogy a mértani közép megmarad:
:<math>\sqrt{a_ih_i}=\sqrt{\frac{a_i+h_i}{\frac{a_i+h_i}{h_ia_i}}}=\sqrt{\frac{a_i+h_i}{\frac{1}{a_i}+\frac{1}{h_i}}}=\sqrt{a_{i+1}h_{i+1}}</math>
 
Ha egymással nem egyenlő adatokat úgy változtatunk, hogy megmaradjon a számtani közepük, akkor mértani közepük mindig csökken.<ref>{{cite journal |last=Mitchell |first=Douglas W. |title=More on spreads and non-arithmetic means |journal=[[The Mathematical Gazette]] |volume=88 |year=2004 |pages=142–144 }}</ref>
 
== Alkalmazása ==