„Elegendően nagy” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Syp (vitalap | szerkesztései) Új oldal, tartalma: „A matematika, különösen a számelmélet és analízis területén egy (''a''<sub>''n''</sub>) sorozat '''v…” |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
A [[matematika]], különösen a [[számelmélet]] és [[Matematikai analízis|analízis]] területén egy (''a''<sub>''n''</sub>) [[sorozat (matematika)|sorozat]] '''végül''', '''hosszú távon''', '''
==Motiváció és definíció==
Végtelen sorozatok vizsgálatakor gyakran előfordul, hogy nem annyira érdekes a sorozat kezdeti viselkedése. Inkább az tart érdeklődésre számot, hogy mi történik hosszú távon a sorozattal. A „kellően nagy n-re” kifejezés ezt a szemléletet fogja meg szigorúbb értelemben.
Vegyünk például egy valós számokon értelmezett (''a''<sub>''n''</sub>) sorozatot, ami egy ''a'' [[Sorozat határértéke|határértékhez]] konvergál: ''bármely ε > 0-hoz létezik N > 0 úgy hogy minden n > N, |a<sub>n</sub> − a| < ε''.
Egy sorozat elgondolható úgy is, mint olyan függvény, melynek [[értelmezési tartomány]]a a [[természetes számok]]. Az „elegendően nagy” elképzelés alkalmazható általánosabb halmazokon értelmezett függvényekre is, méghozzá azokra, melyeken definiált egy rendezés, és nincs [[legnagyobb elem]] a halmazban. Általában véve, ha ''S'' ilyen halmaz és létezik olyan ''s'' elem ''S''-ben, hogy az ''f'' függvény értelmezett minden ''s''-nél nagyobb elemre, akkor ''f'' rendelkezik „végül” valamilyen tulajdonsággal, ha létezik olyan ''x''<sub>0</sub> elem, hogy ''f'' rendelkezik a tulajdonsággal minden ''x'' > ''x''<sub>0</sub> esetben. Ezt a jelölést használják például a [[Hardy-test]]ek vizsgálatakor; ezek olyan valós függvények alkotta testek, melyek mind valamilyen tulajdonsággal rendelkeznek „végül”.
12. sor:
==Jelölés==
A '''végül''' (vagy '''elegendően nagy''') kifejezés a következő kontextusban használatos:
:A <math>P</math> ''végül'' igaz <math>x</math>-re / :<math>P</math> igaz ''elegendően nagy'' <math>x</math>-re a következő rövid formája:
:<math>\exists~ a\in\mathbb{R}</math> úgy, hogy <math>P</math> igaz <math>\forall~ x\ge a</math>
vagy kissé formálisabban:
|