„Elegendően nagy” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Syp (vitalap | szerkesztései)
Új oldal, tartalma: „A matematika, különösen a számelmélet és analízis területén egy (''a''<sub>''n''</sub>) sorozat '''v…”
 
Nincs szerkesztési összefoglaló
 
1. sor:
A [[matematika]], különösen a [[számelmélet]] és [[Matematikai analízis|analízis]] területén egy (''a''<sub>''n''</sub>) [[sorozat (matematika)|sorozat]] '''végül''', '''hosszú távon''', '''elengendőenelegendően nagy''', '''elég nagy''' vagy '''kellően nagy ''n''-re''' rendelkezik egy tulajdonsággal, ha a sorozat valamely (véges) pontjától kezdve az összes elem rendelkezik a tulajdonsággal. Ez a megfogalmazás kiterjeszthető a ''P'' tulajdonságok bármely osztályára, ami egy [[részbenrendezett halmaz|rendezett halmaz]] elemein operál (az '''R''' sorozatai és részhalmazai például ilyenek).
 
==Motiváció és definíció==
Végtelen sorozatok vizsgálatakor gyakran előfordul, hogy nem annyira érdekes a sorozat kezdeti viselkedése. Inkább az tart érdeklődésre számot, hogy mi történik hosszú távon a sorozattal. A „kellően nagy n-re” kifejezés ezt a szemléletet fogja meg szigorúbb értelemben.
 
Vegyünk például egy valós számokon értelmezett (''a''<sub>''n''</sub>) sorozatot, ami egy ''a'' [[Sorozat határértéke|határértékhez]] konvergál: ''bármely ε&nbsp;>&nbsp;0-hoz létezik N&nbsp;>&nbsp;0 úgy hogy minden n&nbsp;>&nbsp;N, |a<sub>n</sub>&nbsp;−&nbsp;a|&nbsp;<&nbsp;ε''. A ''végül'' kifejezés annak a rövid megfelelője, hogy „''létezik N&nbsp;>&nbsp;0 úgy, hogy minden n&nbsp;>&nbsp;N...''” Tehát a konvergencia definíciója így is megfogalmazható: ''minden ε&nbsp;>&nbsp;0, végül (kellően nagy n-re) |a<sub>n</sub>&nbsp;−&nbsp;a|&nbsp;<&nbsp;ε''. Ebben a kontextusban szinonim kifejezés a következő is: „véges számú tag kivételével az összesre igaz” – ami nem tévesztendő össze a „[[csaknem minden]] tagra igaz” kifejezéssel, ami általában végtelen sok kivételt megenged.
 
Egy sorozat elgondolható úgy is, mint olyan függvény, melynek [[értelmezési tartomány]]a a [[természetes számok]]. Az „elegendően nagy” elképzelés alkalmazható általánosabb halmazokon értelmezett függvényekre is, méghozzá azokra, melyeken definiált egy rendezés, és nincs [[legnagyobb elem]] a halmazban. Általában véve, ha ''S'' ilyen halmaz és létezik olyan ''s'' elem ''S''-ben, hogy az ''f'' függvény értelmezett minden ''s''-nél nagyobb elemre, akkor ''f'' rendelkezik „végül” valamilyen tulajdonsággal, ha létezik olyan ''x''<sub>0</sub> elem, hogy ''f'' rendelkezik a tulajdonsággal minden ''x''&nbsp;>&nbsp;''x''<sub>0</sub> esetben. Ezt a jelölést használják például a [[Hardy-test]]ek vizsgálatakor; ezek olyan valós függvények alkotta testek, melyek mind valamilyen tulajdonsággal rendelkeznek „végül”.
12. sor:
==Jelölés==
A '''végül''' (vagy '''elegendően nagy''') kifejezés a következő kontextusban használatos:
:A <math>P</math> ''végül'' igaz <math>x</math>-re / :<math>P</math> igaz ''elegendően nagy'' <math>x</math>-re a következő rövid formája:
a következő rövid formája:
:<math>\exists~ a\in\mathbb{R}</math> úgy, hogy <math>P</math> igaz <math>\forall~ x\ge a</math>
vagy kissé formálisabban: