„Gödel első nemteljességi tétele” változatai közötti eltérés

:Minden ''ellentmondásmentes'', a ''természetes számok elméletét tartalmazó'', ''formális-axiomatikus elméletben'' ''megfogalmazható'' olyan mondatállítás, mely se nem ''bizonyítható'', se nem ''cáfolható''.

* 2. ''Ellentmondásos'' egy axiomatikus-deduktív elmélet, ha van benne olyan mondatállítás, mely bizonyítható is és cáfolható is. Amennyiben kizárt, hogy akármelyik mondatállítás bizonyítható és cáfolható is legyen, akkor azt mondjuk, hogy az elmélet ''[[ellentmondásmentes elmélet|ellentmondásmentes]]''.

* 4. ''Megfogalmazható'', azaz létezik a formális nyelvnek ilyen mondataállítása. (Ez a fajta létezés ráadásul konstruktív abban az értelemben, hogy valamilyen eljárással véges lépésben kikereshető az összes mondatállítás közül – bár a kikeresés idejére vonatkozóan nem feltétlenül lehet felső korlátot megadni.)

* 6. ''Cáfolható'' egy ''S'' mondatállítás, ha [[negáció]]ja (azaz a 'nem S' mondatállítás) bizonyítható.

* Ha egy elméletben minden mondatállítás bizonyítható vagy cáfolható (itt a 'vagy' a 'megengedő vagy' értelmében veendő), akkor az elméletet ''negációteljes''nek nevezzük. Ha olyan mondatállítás, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható, akkor az elméletet ''nemteljes''nek mondjuk, a szóban forgó bizonyíthatatlan illetve cáfolhatatlan mondatokállítások elnevezése pedig: (az axiómarendszertől) ''független'' vagy ''eldönthetetlen'' kijelentések.

* Mint ismeretes, a klasszikus logikában (a [[parakonzisztens logikák]]kal szemben) egy elmélet pontosan akkor ellentmondásmentes, ha van benne olyan mondatállítás, mely nem levezethető (ez az ellentmondásmentesség egy fontos jellemzése). Gödel első nemteljességi tétel ezen kívül azt is állítja, hogy van olyan nem levezethető mondatállítás, melynek negációja sem vezethető le, azaz független mondatállítás létezése ekvivalens az ellentmondásmentességgel (feltéve, hogy az elmélet elegendően erős).

A tétel megfogalmazható úgy is, hogy ''Minden elég erős, ellentmondásmentes elméletben van olyan mondatállítás, mely eldönthetetlen, miközben ''igaz'' ''.

Itt az ''igaz'' minősítést abban az értelemben használják, ahogy [[Arisztotelész]], azaz úgy gondolják, minden kijelentés vagy igaz, vagy hamis. Ha elfogadjuk, hogy a mondatokkijelentés igazságértéke felderítésének lényegében egyedüli útja az, hogy találunk-e hozzájuk levezetést, akkor súlyos episztemológiai állítással kerülünk szembe. Eszerint minden elég erős elméletben lesz olyan mondatállítás, melynek igazságáról nem fogunk tudni meggyőződni, vagyis egyik (elég erős) formális-axiomatikus rendszer sem lesz képes arra, hogy maradéktalanul minden eldöntendő kérdésre válaszoljon. Eszerint tehát eleve lehetetlen minden mondatállítás igazságát levezetéssel megállapítani, azaz a formális rendszerek inkompetensek az összes kijelentés igazságának eldöntése dolgában.