„Gödel első nemteljességi tétele” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a CheckWiki error (48) javítása |
a A "mondat"-ot "állítás"-ra változtattam. |
||
5. sor:
== A tétel ==
* '''Tétel''' – ''Gödel első nemteljességi tétele''
:Minden ''ellentmondásmentes'', a ''természetes számok elméletét tartalmazó'', ''formális-axiomatikus elméletben'' ''megfogalmazható'' olyan
=== Terminológiai megjegyzések ===
* 1. ''Formális-axiomatikus elmélet'' alatt bármilyen formalizált (például [[elsőrendű nyelv]]re épített) [[axiomatikus-deduktív módszer|axiomatikus-deduktív]] elméletet érthetünk, melynek axiómarendszere rekurzívan felsorolható.
* 2. ''Ellentmondásos'' egy axiomatikus-deduktív elmélet, ha van benne olyan
* 3. Azon, hogy ''tartalmazza a természetes számok elméletét'', azt értjük, hogy szerepeljenek a formális nyelvben olyan kifejezések, melyek megfeleltethetők a természetes számoknak, az összeadásnak, a szorzásnak úgy, hogy a [[Peano-aritmetika]] axiómái megfogalmazhatók és egyben levezethetők is legyenek az elméletben. Ezt a feltételt még úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az elmélet ''elegendően erős''.
* 4. ''Megfogalmazható'', azaz létezik a formális nyelvnek ilyen
* 5. ''Bizonyítható'', azaz formalizált axiomatikus-deduktív elméletek levezethetőség kritériumának megfelel.
* 6. ''Cáfolható'' egy ''S''
=== Megjegyzések az említett fogalmak matematikai hátteréhez ===
* Ha egy elméletben minden
* A Peano-aritmetika helyett annak egy gyengített verziója is elegendő. A tétel fennállásához a [[Robinson-féle Q aritmetika]] axiómáinak feltétele.
* Mint ismeretes, a klasszikus logikában (a [[parakonzisztens logikák]]kal szemben) egy elmélet pontosan akkor ellentmondásmentes, ha van benne olyan
=== Episztemológiai vonatkozások ===
A tétel megfogalmazható úgy is, hogy ''Minden elég erős, ellentmondásmentes elméletben van olyan
Itt az ''igaz'' minősítést abban az értelemben használják, ahogy [[Arisztotelész]], azaz úgy gondolják, minden kijelentés vagy igaz, vagy hamis. Ha elfogadjuk, hogy a
== A bizonyítás vázlata ==
|