A [[matematika|matematikában]], az <math>_{n \choose k}</math> '''binomiális együttható''' az ''(1 + x)'' ''n''-edik [[hatvány]]ának [[többtagú kifejezés]]ében az <math>x^k</math> [[együttható]]ja. Az <math>_{n \choose k}</math> kifejezést a magyarban így olvassák: "''n'' alatt a ''k''".
A kombinatorikában <math>_{n \choose k}</math> egy ''n'' elemű halmaz ''k'' elemű [[részhalmaz]]ainak a száma, ami azt mutatja meg, hányféleképpen "választhatunk ki" ''k'' elemet ''n'' elem közül. Az <math>_{n \choose k}</math> jelölést [[Andreas von Ettingshausen]] vezette be 1826-ban,<ref>{{cite book |author=[[Nicholas J. Higham]] |title=Handbook of writing for the mathematical sciences |publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] |isbn=0898714206 |page=25}}</ref> habár a számokat már századokkal előtte is ismerték (lásd [[Pascal-háromszög]]). Alternatív jelölések a <math>^nC_k</math>, <math>C^n_k</math>, <math>C^k_n</math>, melyek mindegyikében a C [[kombináció]]kat, választási lehetőségeket jelöl.
== Definíció ==
Az ''n'' és ''k'' [[természetes számok]]nál, az <math>_{n \choose k}</math> binomiális együtthatót az [[monom|egytagú]] ''<math>X^k</math>'' együtthatójaként lehet leírni az <math>(1+X)^n</math> kifejezésben. Ugyanez az együttható fordul elő, ha ''k ≤ n'' a [[binomiális tétel|binomiális képletben]].
:<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^{n-k}y^k</math>
(érvényes egy [[kommutatív gyűrű]] akármelyik ''x, y'' elemeire), ami megmagyarázza a "binomiális együttható" nevet.
