„Waring-probléma” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Kope (vitalap | szerkesztései) a →''G''(''k''): jav |
Kope (vitalap | szerkesztései) |
||
68. sor:
E jelenségek vizsgálatára vezette be Hardy és Littlewood a ''G''(''k'') értéket, ami a legkisebb olyan ''m'' számot jelenti, hogy minden elég nagy természetes szám előáll ''m'' darab ''k''-adik hatvány összegeként. Ennek hátterében egyrészt az áll, hogy, mint a fenti példán is láttuk, ''k''>2-re csak kis számokhoz szükséges ''g''(''k'') ''k''-adik hatvány, később ez leesik egy jóval kisebb értékre, másrészt az analitikus eljárásokkal kapott becslések csak igen nagy számokra adnnak jó eredményeket. Tudjuk tehát, hogy ''G''(2)=4, mert, mint könnyen látható, végtelen sok szám (a <math>4^x(8y+7)</math> alakú számok) nem állíthatóak elő három négyzetszám összegeként.
''G''(''k'') pontos értéke a legtöbb esetben ismeretlen. A fentiek szerint ''G''(3)-ról csak annyit tudunk hogy: <math>4 \leq G(3) \leq 7</math>.
''G''(4) értékét pontosan megadja Davenport egy tétele<ref>H. Davenport: On Waring's problem for fourth powers, ''Annals of Mathematics'', ''40''(1939), 731-737.</ref>, ami szerint minden elég nagy szám, ha 16-tal osztva nem 14 vagy 15 maradékot ad, felírható 14 negyedik hatvány összegeként. Ebből következik, hogy G(4)=16 és tizenhat negyedik hatványra csak a <math>16^kA</math> alakú számok felírására van szükség, ahol A egy véges halmaz eleme.
|