Wikipédia

„Waring-probléma” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
(Összes ellenőrzésre váró szerkesztés megjelenítése)
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Kope (vitalap | szerkesztései)
2 429 szerkesztés
Kope (vitalap | szerkesztései)
2 429 szerkesztés
68. sor:
E jelenségek vizsgálatára vezette be Hardy és Littlewood a ''G''(''k'') értéket, ami a legkisebb olyan ''m'' számot jelenti, hogy minden elég nagy természetes szám előáll ''m'' darab ''k''-adik hatvány összegeként. Ennek hátterében egyrészt az áll, hogy, mint a fenti példán is láttuk, ''k''>2-re csak kis számokhoz szükséges ''g''(''k'') ''k''-adik hatvány, később ez leesik egy jóval kisebb értékre, másrészt az analitikus eljárásokkal kapott becslések csak igen nagy számokra adnnak jó eredményeket. Tudjuk tehát, hogy ''G''(2)=4, mert, mint könnyen látható, végtelen sok szám (a <math>4^x(8y+7)</math> alakú számok) nem állíthatóak elő három négyzetszám összegeként.
 
''G''(''k'') pontos értéke a legtöbb esetben ismeretlen. A fentiek szerint ''G''(3)-ról csak annyit tudunk hogy: <math>4 \leq G(3) \leq 7</math>. TudjukKönnyen látható, hogy <math>G(k)\geq k+1</math> minden ''k''>1-re, ugyanis a ''k'' darab ''k''-adik hatvány összegeként felírható számok sorozatának felső sűrűsége legfeljebb <math>1/k!</math>. ésTovábbá <math>G(2^k)\geq 2^{k+2}</math>, ha <math>k\geq 3</math>, ugyanis a <math>(2^{k+3}-1)(2^{k+2})^n</math> alakú számokhoz legalább ennyi <math>2^k</math>-adik hatvány kell. De ekkor <math>G(3\cdot2^k)\geq 2^{k+2}</math>-nek is teljesülnie kell, hiszen minden <math>3\cdot2^k</math>-adik hatvány egyben <math>2^k</math>-adik hatvány is. Sejthető, hogy ''k''>2-re a fenti korlátok adják meg ''G''(''k'') pontos értékét.
 
''G''(4) értékét pontosan megadja Davenport egy tétele<ref>H. Davenport: On Waring's problem for fourth powers, ''Annals of Mathematics'', ''40''(1939), 731-737.</ref>, ami szerint minden elég nagy szám, ha 16-tal osztva nem 14 vagy 15 maradékot ad, felírható 14 negyedik hatvány összegeként. Ebből következik, hogy G(4)=16 és tizenhat negyedik hatványra csak a <math>16^kA</math> alakú számok felírására van szükség, ahol A egy véges halmaz eleme.
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Waring-probléma”