„Liouville-tétel (komplex analízis)” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Bizonyítás
4. sor:
 
==Bizonyítás==
A tétel bizonyítása azt használja fel, hogy a hol,omorf függvények analitikusak. Ha ''f'' egészfüggvény, akkor a 0 körül [[Taylor-sorbasor]]ba fejthető:
: <math>f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k</math>
 
amiből a [[Cauchy-integrálképlettelintegrálképlet]]tel
: <math>
a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} = {1 \over 2 \pi i} \oint_{C_r}
13. sor:
</math>
 
és ''C''<sub>''r''</sub> a 0 körüli ''r'' > 0 sugarú kör. Feltéve, hogy ''f'' konstans, van egy ''M'' konstans, hogy |''f''(''z'')| ≤ ''M'' minden ''z'' komplex számra. Ekkor ''M'' becsülhető, mint:
:<math>
| a_k |
\le \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{ | f ( \zeta ) | }{ | \zeta |^{k+1} } \, |d\zeta|
\le \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{ M }{ r^{k+1} } \, |d\zeta|
= \frac{M}{2 \pi r^{k+1}} \oint_{C_r} |d\zeta|
= \frac{M}{2 \pi r^{k+1}} 2 \pi r
= \frac{M}{r^k},
</math>
 
A második egyenlőtlenségben felhasználtuk, hogy |''z''|=''r'' a körön. De ''r'' akármilyen pozitív szám lehet. Ha ''r''-rel a végtelenbe tartunk (tarthatunk is, mert ''f'' egészfüggvény), akkor ''a''<sub>''k''</sub> = 0 minden ''k'' ≥ 1 esetén. Tehát ''f''(''z'') = ''a''<sub>0</sub>, amivel a tételt bebizonyítottuk.
 
 
[[Kategória: Komplex függvénytan]]