„Centrum (algebra)” változatai közötti eltérés

a
→‎Csoport centruma: Csoport disamb.
a
a (→‎Csoport centruma: Csoport disamb.)
== Csoport centruma ==
 
Ha G = (U, ×, e) egy [[Csoport (matematika)|csoport]], azaz × az asszociativitáson kívül még [[invertálható művelet]], tehát létezik az e egységelem; továbbá minden g&isin;G-hez egy g<sup>-1<sup>&isin;G úgy, hogy g×g<sup>-1<sup> = g<sup>-1<sup>×g = e, akkor a G struktúra centruma is részstruktúra G-ben, azaz Z = Z(G) [[részcsoport]] G-ben.
 
Hogy Z(G) = Z zárt a × műveletre, azt [[#Félcsoport centruma|fentebb]] már láttuk. Hogy Z nem üres, azaz az egységelem az eleme, [[#Egységelemes grupoid centruma|fentebb]] azt is láttuk. Elegendő tehát a Z invertálhatóságát belátni. Ez abból a tételből következik, hogy (ab)<sup>-1</sup> = a<sup>-1</sup>b<sup>-1</sup> tetszőleges G csoportban. Ekkor ugyanis ha z&isin;Z, azaz minden x-re zx = xz, akkor ezt az egyenlőséget invertálva, a baloldalból (zx)<sup>-1</sup> = x<sup>-1</sup>z<sup>-1</sup> lesz, míg a jobboldalból (xz)<sup>-1</sup> = z<sup>-1</sup>x<sup>-1</sup> , és ezek továbbra is egyenlőek: x<sup>-1</sup>z<sup>-1</sup> = z<sup>-1</sup>x<sup>-1</sup> ; s utóbbi (figyelembe véve, hogy az i(x): G&rarr;G; i(x) = x<sup>-1</sup> leképezés [[szürjektivitás|szürjektív]]) épp azt jelenti, z<sup>-1</sup>&isin;Z is centrumelem.