„Liouville-tétel (komplex analízis)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Következményei |
→Egészfüggvény nem dominál egészfüggvényt: Egészfüggvény skalárszoros korláttal |
||
9. sor:
Abban az esetben, ha g=0, akkor a tétel triviális, tehát feltehető, hogy g<math>\neq</math>0. Legyen most ''h'' = ''f''/''g'', ekkor elég belátni, hogy ''h'' kiterjeszthető egészfüggvénnyé, amiből az eredmény Liouville tételével következik. A ''h'' függvény nyilván holomorf, kivéve a ''g''<sup>−1</sup>(0) helyeken. De mivel ''h'' korlátos és ''g'' szingularitásai izoláltak, azért a szingularitások eltávolíthatók. Ezért ''h'' kiterjeszthető korlátos egészfüggvénnyé, ami Liouville tétele szerint konstans.
===Egészfüggvény skalárszoros korláttal===
Feltesszük, hogy ''f'' egészfüggvény, és van egy alkalmas ''M'' pozitív valós szám, hogy |''f''(''z'')| kisebb, vagy egyenlő, mint ''M''|''z''|. A [[Cauchy-integrálképlet]]tel
:<math>|f'(z)|=\frac{1}{2\pi}\left|\oint_{C_r }\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta\right|\leq \frac{1}{2\pi} \oint_{C_r} \frac{\left| f(\zeta) \right|}{\left| (\zeta-z)^2\right|} \left|d\zeta\right|\leq \frac{1}{2\pi} \oint_{C_r} \frac{M\left| \zeta \right|}{\left| (\zeta-z)^2\right|} \left|d\zeta\right|=\frac{MI}{2\pi}</math>
ahol ''I'' a maradék integrál értéke. Ez azt mutatja, hogy ''f''' korlátos egészfüggvény, tehát konstans. Az integrál megmutatja, hogy ''f'' affin. Az eredeti állítás miatt a konstans tag nulla.
==Bizonyítás==
| |||