„Negatív és nemnegatív számok” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Visszavontam az utolsó 2 változtatást (89.123.236.179), visszaállítva Vépi szerkesztésére
Nincs szerkesztési összefoglaló
19. sor:
Egy szám ellentettje egyértelmű, ahogy azt az alábbi bizonyítás mutatja.
 
Legyen <math>x</math> egy szám, és <math>y</math>, <math>y \prime </math> az <math>x</math> ellentettjei. Ekkor
 
:<math>x + y = 0</math>,
60. sor:
 
Ha kivonsz egy pozitív számot egy nála kisebb pozitív számból, akkor az eredmény negatív lesz:
:4 − 6 = −2
:(ha van 4 €-d és elköltesz 6 €-t, akkor 2 € adósságod lesz).
 
69. sor:
Kivonni egy negatív számot ekvivalens azzal, ha hozzáadod a megfelelő pozitívat:
 
:5 − (−2) = 5 + 2 = 7
:(ha van 5 € nettód, és 2 € adósságodtól megszabadulsz, akkor a nettód 7 € lesz.)
 
78. sor:
 
=== Szorzás ===
Az indiai [[Brahmagupta]] a Kr. e. 7. században azt állította , hogy:
:''„pozitív számot szorozva egy pozitív számmal pozitív számot kapunk, és negatívat negatívval szorozva szintén pozitív számot”''<ref>A ''Brahma-Sphuta-Siddhanta'', ''Brahma tökéletesített tudomány''ban (Kr. e. 628)</ref>
 
84. sor:
 
Egy negatív számot egy pozitívval [[szorzás|szorozva]] az eredmény negatív:
:−2 <math>\cdot</math> 3 = −6
Két negatív szám szorzata pozitív:
:−4 <math>\cdot</math> −3 = 12
 
Ennek indokaként gondoljunk a szorzásra úgy, mint a természetes egészek szorzására. Pozitív számmal való szorzás egymás utáni összeadás, még ha a szorzandó negatív is. Ahogy 3 <math>\cdot</math> 2 = 2 + 2 + 2 = 6, úgy
:3 <math>\cdot</math> (-2) = (−2) + (−2) + (−2) = −6.
A szorzás [[kommutatív]]:
107. sor:
 
=== Osztás ===
Az [[osztás]] hasonló a szorzáshoz. Negatív számot negatív számmal osztva az eredmény pozitív, pozitív számot negatívval osztva negatív.<ref>Ennek a megálapításamegállapítása is elsőként [[Brahmagupta]] nevéhez fűződik.</ref> Ha az [[osztandó]]nak és az [[osztó]]nak különböző az előjele, akkor a [[hányados]] negatív.
 
:8 : (−2) = −4
122. sor:
 
Definiálunk egy [[ekvivalenciareláció]]t ~ ezen párok között a következő módon:
:(''a'', ''b'') ~ (''c'', ''d'') ifakkor andés onlycsak ifakkor, ha ''a'' + ''d'' = ''b'' + ''c''.
Ez az ekvivalenciareláció összeegyeztethető az összeadással és a kivonással a fenti definíció szerint, és definiálhatjuk '''Z'''-t az '''N'''²/~ [[ekvivalenciaosztály]]aként, például azonosnak veszünk 2 párt (''a'', ''b'') és (''c'', ''d''), ha ekvivalensek a fenti módon.
 
Definiálhatunk egy [[teljes rendezettség]]et is '''Z'''-n:
:(''a'', ''b'') ≤ (''c'', ''d'') akkor, és csak akkor, ha ''a'' + ''d'' ≤ ''b'' + ''c''.
 
Ez elvezet egy additív nullelemhez (''a'', ''a''), (''a'', ''b'') additív inverzéhez: (''b'', ''a''), egy multiplikatív egységelemhez (''a'' + 1, ''a''), és a [[kivonás]] egy definíciójához:
136. sor:
A [[Hellenisztikus Egyiptom]]ban, [[Diophantosz]] az i. sz. 3. században utalt egy egyenletre, ami ekvivalens 4''x''+20=0 egyenlettel (aminek a gyöke negatív), az ''[[Aritmetika|Aritmetikában]]'', mondva, hogy az egyenlet értelmetlen. Ez jelzi, hogy akkoriban az embereknek nem volt fogalmuk a negatív számokról a Földközi-tenger térségében.
 
Az i. sz. 7. században [[India|Indiában]] negatív számokat használtak a tartozások jelölésére. Az [[indiai matematika|indiai matematikus]], [[Brahmagupta]] fő művében, a Brahma-Sphuta-Siddhanta /Brahma tökéletesített tudomány/-ban (i. sz. 628) fejtegette a negatív számok használatát az általános [[másodfokú egyenlet]]-megoldóképletben, amit ma is használunk. Negatív megoldásokat is talált a másodfokú egyenletekre, és szabályokat adott az olyan kifejezések használatára, amik negatív számokat és 0-t tartalmaznak, mint pl.: "A semmiből előjövő adósság hitellé válik, a semmiből előjövő hitel adóssággá"
 
A pozitív számokat "vagyonoknak", a 0-t "jelentéktelennek", a negatív számokat "adóknak" hívta.
Az i. sz. 8. század folyamán az [[Iszlám|Iszlám világiszlám]] világ megismerkedett a negatív számokkal Brahmagupta művének [[arab nyelv]]ű fordítása alapján, és i. sz. 1000-re az arab matematikusok negatív számokat használtak az adók jelölésére.
 
A 12. századi Indiában, [[Bhaskara]] is adott negatív gyököket másodfokú egyenletekre, de elvetette őket, mert nem illett a problémához. Kijelentette, hogy a negatív értékek: "''Ebben az esetben alkalmatlanok, az emberek nem ismerik el a negatív gyököket.''"
Kijelentette, hogy a negatív értékek: "''Ebben az esetben alkalmatlanok, az emberek nem ismerik el a negatív gyököket.''"
 
A negatív számok ismerete végül arab és indiai művek [[latin nyelv|latin]] fordításain keresztül érte el Európát.
 
Az [[európa]]i matematikusok nagy része elvetette a negatív számokat a 17. századig, noha [[Fibonacci]] megengedte a negatív megoldásokat pénzügyi problémákra, ahol adókként értelmezték őket (Liber Abaci; 1202, 13. fejezet) és később, veszteségként (a Flos-ban). Ebben az időben a [[kína]]iak a negatív számok jelöléseként egy ferde vonást húztak a legutolsó nem nulla számjegyen át.
 
152 ⟶ 151 sor:
1759-ben egy angol matematikus, Francis Maseres írta: „a negatív számok elhomályosítják az egyenletek elméletét, és sötétséget okoznak a rendkívül nyilvánvaló, egyszerű dolgokban”. Arra a következtetésre jutott, hogy a negatív számok nem léteznek.
 
A negatív számokat a modern időkig nem értették igazán. Nemrég, aA 18. században, a [[svájc]]i matematikus, [[Leonhard Euler]], hitte, hogy a negatív számok [[számosság]]a nagyobb a [[végtelen]]nél, ezt az álláspontot John Wallis osztotta meg vele. Bevett szokás volt, hogy az egyenletekből származó negatív eredményeket figyelmen kívül hagyják, azzal a feltételezéssel, hogy értelmetlenek. A vita, miszerint a negatív számok számossága nagyobb a végtelennél, magába foglalta az 1/x törtet, szemlélték, hogy mi történik, ha a tört keresztezi az x=0 pontot a pozitív oldalról.<!-- mit jelent az, hogy "szemlélték"? -->
 
== Külső hivatkozások ==
 
==Jegyzetek==
{{források}}