„Liouville-tétel (komplex analízis)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Megjegyzések: polinomok |
|||
58. sor:
Hasonlóan, ha a holomorf függvénynek pólusa van a ∞-ben, akkor polinom. Ekkor úgy robban fel a ∞ egy környezetében, mint ''z<sup>n</sup>''. Még pontosabban, ha elég nagy ''z'' esetén |''f''(''z'')| ≤ ''M''.|''z<sup>n</sup>''|, akkor ''f'' legfeljebb ''n''-edfokú [[polinom]].
Ugyanis''f''-et Taylor-sorba fejtve
:<math> f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k.</math>
Cauchy becslése alapján
:<math>(\forall k\in\mathbb{N}):|a_k|\leqslant Mr^{n-k}.</math>
Így, ha ''k'' > ''n'',
:<math>|a_k|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}Mr^{n-k}=0.</math>
Tehát ''a<sub>k</sub>'' = 0.
Liouville tétele nem érvényes a hasított komplex számokra és a duális számokra.<ref>https://www.rose-hulman.edu/mathjournal/archives/2011/vol12-n2/paper4/v12n2-4pd.pdf</ref>
[[Kategória: Komplex függvénytan]]
| |||