Wikipédia

„Hilbert-tér” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
a ISBN/PMID link(ek) sablonba burkolása MediaWiki RfC alapján
a hivatkozások, elírások
2. sor:
{{egyért2|a Hilbert-térről|Hilbert (egyértelműsítő lap)}}
 
A '''Hilbert-tér''' a modern [[matematika]] fontos fogalma: olyan [[skalárszorzatskaláris szorzat|skalárszorzatos]]os vektortér, mely [[teljes tér|teljes]] a skalárszorzat által definiált [[normált tér|normára]] nézve. A Hilbert-tereket a [[funkcionálanalízis]] tanulmányozza. <!--A Hilbert-tér szolgál a [[Fourier sorok|Fourier-kiterjesztés]]? és bizonyos [[lineáris transzformáció]]k, mint a [[Fourier-transzformáció]] tisztázására és általánosítására.--> A Hilbert-térnek alapvető jelentősége van a [[kvantummechanika]] megalapozásában, jóllehet a kvantummechanika sok alapvető tulajdonsága megérthető a Hilbert-terek mélyebb megértése nélkül.<ref>Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 146-148. old. Typotex Kiadó, 2009. {{ISBN|978-963-279-026-8}}</ref>
 
Szerkezetét egyértelműen meghatározza a Hilbert-dimenziója. Ez tetszőleges [[kardinális szám]] lehet. Ha a dimenzió véges, akkor euklideszi vektortérről van szó. Sok területen, például a kvantummechanikában a megszámlálhatóan végtelen dimenziós Hilbert-teret használják. A Hilbert-tér egy eleme megadható a dimenziónak megfelelő számú valós, vagy komplex koordinátával. A vektorterekhez hasonlóan, ahol egy Hamel-bázisban megadott koordináták véges kivétellel nullák, egy Hilbert-tér ortonormált bázisában csak megszámlálható sok koordináta különbözhet nullától, és a koordináták négyzetesen összegezhetők.
 
== Bevezetés ==
97. sor:
Ha ''y'' egy ''H'' Hilbert-térbéli vektor és <math>B=\{ x_i\in H: i\in I \}</math> egy ortonormált bázisa ''H''-nak, ahol ''I'' egy tetszőleges indexhalmaz, akkor:
 
<math>y=\sum_{i\in I}\langle{x_i},{y}\rangle x_i</math>, ahol <math>\langle{x_i},{y}\rangle</math> csak [[Számosság|megszámlálható]] sok <math>i\in I</math>-re nem nulla, és az összegzés független a sorrendtől. y kifejezése bázisvektorok [[sor (matematika) |soraként]] egyértelmű. Továbbá:
 
<math>||y||^2=\sum_{i\in I}|\langle{x_i},{y}\rangle|^2</math> ('''[[Parseval tétel]]''').
106. sor:
Minden [[L-2 tér]] egy Hilbert-tér.
 
Minden véges dimenziós belsőszorzattalbelső szorzattal rendelkező tér (mint az [[euklidesziEuklideszi tér (lineáris algebra)|Euklideszi-tér]] a szokásos skalár szorzattalskalárszorzattal) Hilbert-teret alkot. Valójában a végtelen dimenziós terek jelentősége az alkalmazások területén sokkal nagyobb. Pár példa ezekre:
* Az [[unitér reprezentáció|unitér csoportreprezentációk]] elmélete
* A négyzetesen integrálható [[sztochasztikus folyamat]]ok
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Hilbert-tér”