„Cauchy-integrálképlet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Forrás hiányzik |
→Körlapra: Következményei |
||
13. sor:
Most a <math>h\colon U\to\mathbb{C}</math>, <math>\textstyle w\mapsto\oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-w}</math> függvény holomorf, és [[derivált]]ja <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2}</math>, ami eltűnik, mivel az integrandusnak van primitív függvénye, mégpedig <math>\zeta\mapsto -\tfrac{1}{\zeta-w}</math>. Tehát <math>h</math> konstans, és mivel <math>h(a)=2\pi\mathrm{i}</math>, azért <math>h(z)=2\pi\mathrm{i}</math>.
==Következményei==
Minden holomorf függvényre teljesül: egy körlap középpontjában felvett értéke a peremen felvett értékek középértéke:
<math>\zeta (t)=a+re^{\mathrm{i}t}\,,\ \mathrm{d}\zeta=\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>.
:<math>f|_{U}(a)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(a+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(a+re^{\mathrm{i}t})\,\mathrm{d}t</math>
[[Kategória: Komplex függvénytan]]
| |||