„Cauchy-integrálképlet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Következményei: A következmények bizonyítása |
|||
35. sor:
:<math>\begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & =\frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta\\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math>
Az <math>\frac{1}{\zeta-z}</math> kifejtése a mértani sor segítségével a Cauchy-integrálképletbe:
:<math>\begin{align}
f|_{U}(z) & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a-(z-a)}\mathrm{d}\zeta\\
& =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\frac{1}{1-\frac{z-a}{\zeta-a}}\mathrm{d}\zeta\,\overset{|\frac{z-a}{\zeta-a}|<1}{=}\,\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-a}{\zeta-a}\right)^{n}\mathrm{d}\zeta\\
& =\sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{a_{n}}(z-a)^{n}\end{align}</math>
[[Kategória: Komplex függvénytan]]
| |||