„Cauchy-integrálképlet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
69. sor:
:<math>f(z_1,\ldots,z_n)=\frac{1}{(2\pi i)^n}
\oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)\cdots (\xi_n-z_n)} \mathrm{d} \xi_1\cdots \mathrm{d} \xi_n</math>
A holomorf függvények deriváltjaira magasabb dimenzióban is teljesül, hogy
:<math>D^{k} f(z_1,\ldots,z_n) = \frac{k!}{(2\pi i)^n}
\oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math>
illetve
:<math>\left|D^k f(z)\right |\le \frac{M \cdot k!}{r^k},</math>
ahol <math>\textstyle M := \max_{\xi \in U} |f(\xi)|</math> és <math>r = (r_1, \ldots , r_n)</math> az <math>\textstyle U</math> policilinder sugara.<ref>[[Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-444-10523-9, S. 25–27.</ref> További általánosítás a [[Bochner-Martinelli-képlet]].
Ennek bizonyítása nem végezhető el az egydimenziós esethez hasonlóan, mivel a Chauchy-integráltétel nem teljesül; viszont teljes indukció használható, amihez az egydimenziós eset szolgál kiindulópontként. A képlet multiindexekkel írható, mint
| |||