„Körülfordulási szám” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Definíció: Kiszámítása |
|||
33. sor:
:<math>\gamma\colon[0,2\pi]\to\mathbb C, t\mapsto e^{\mathrm it}</math>
Jelölje <math>\mathbb E</math> a körvonal belsejét! Ekkor intuitívan <math>\operatorname{ind}_\gamma(z)=1</math> minden <math>z\in\mathbb E</math> és <math>\operatorname{ind}_\gamma(z)=0</math> minden <math>z\in\mathbb C\setminus\bar{\mathbb E}</math> komplex számra. Ez utóbbi a [[Cauchy-féle integráltétel]] és a definíció következménye. Most legyen
:<math>f\colon\mathbb E\to\mathbb C, z\mapsto \operatorname{ind}_\gamma(z).</math>
Teljesül, hogy
:<math>\operatorname{ind}_\gamma(0) = f(0) = \frac 1{2\pi\mathrm i}\int_\gamma\frac{\mathrm d\zeta}\zeta = \frac 1{2\pi\mathrm i}\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mathrm ie^{\mathrm it}}{e^{\mathrm it}}\mathrm dt = 1.</math>
A deriválás és az integrálás felcserélésével
:<math>f'(z)=\frac 1{2\pi\mathrm i} \int_\gamma \frac{\mathrm d\zeta}{\left(\zeta - z\right)^2},</math>
és mivel az <math>\zeta\mapsto -\frac 1{\zeta-z}</math> az integrandus [[primitív függvény]]e, <math>f'\equiv 0.</math>. Továbbá <math>\mathbb E</math> összefüggősége miatt <math>f(z)=\operatorname{ind}_\gamma(z)=1</math> minden <math>z\in\mathbb E</math> esetén.
[[Kategória: Topológia]]
| |||