„Kvaterniók” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a ISBN/PMID link(ek) sablonba burkolása MediaWiki RfC alapján |
|||
368. sor:
Hasonlók adódnak más konvenciók esetén is.
=== A forgáscsoport univerzális fedése ===
Az egységnyi kvaterniók:
<math>\begin{align}
: <math>\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3).</math>▼
q &{}= w + \bold{i}x + \bold{j}y + \bold{k}z , \\
1 &{}= w^2 + x^2 + y^2 + z^2 ,
\end{align}</math>
csoportja izomorf a 2*2-es, unitér mátrixok - SU(2) - csoportjával, amiért az egységkvaterniókat azonosíthatjuk a SU(2) generátoraival:
<math>q = a\mathrm{1} + b\mathrm{i} + c\mathrm{j} + d\mathrm{k} = \alpha + j\beta \leftrightarrow \begin{bmatrix}\alpha & -\overline \beta \\ \beta & \overline \alpha\end{bmatrix} = U, \quad q \in \mathbb{H},\quad a,b,c,d \in \mathbb{R}, \quad \alpha, \beta \in \mathbb{C},\quad U \in \mathrm{SU}(2).</math><ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 95.</ref>
Ez egy kétrétegű fedés, aminek [[mag (matematika)|magja]] a <math>\{\pm1\}</math> [[centrum (algebra)|centrum]]. A [[fedés (topológia)|fedés]] univerzális, hiszen <math>\mathrm{SU}(2)\cong S^3</math> egyszeresen összefüggő. Spincsoportnak is nevezik, és <math>\mathrm{Spin}(3)</math>-mal is jelölik, és szorosan kapcsolódik a fizikai spinhez. Az <math>\mathrm{SU}(2)</math> → <math>\mathbb C^2</math> leképezés egy úgynevezett spinorábrázolás, azaz egy olyan ábrázolás, amiben a négyzetes mátrixok mérete páros. Három báziskvaternió, '''i''', '''j''' és '''k''' az SU(2) három [[hermitikus mátrix|hermitikus generáló mátrixának]], a [[Pauli-mátrixok]]nak felel meg:▼
Másrészről találunk az egységnyi kvaterinók csoportjából egy 2:1 művelettartó leképezést ([[homomorfizmus]]<nowiki/>t) az SO(3) forgatáscsoportba, ugyanis q és -q ugyanahhoz a Q rotációs mátrixhoz tartozik. Általánosan a (x,y,z) vektor körül {{math|2''θ''}} szöggel forgató (ahol {{math|cos ''θ'' {{=}} w}} és {{math|{{!}}sin ''θ''{{!}} {{=}} {{!}}{{!}}(''x'',''y'',''z''){{!}}{{!}}}}) Q mátrix:
: <math> Q = \begin{bmatrix}
1 - 2 y^2 - 2 z^2 & 2 x y - 2 z w & 2 x z + 2 y w \\
2 x y + 2 z w & 1 - 2 x^2 - 2 z^2 & 2 y z - 2 x w \\
2 x z - 2 y w & 2 y z + 2 x w & 1 - 2 x^2 - 2 y^2
▲Ez egy kétrétegű fedés, aminek [[mag (matematika)|magja]] a <math>\{\pm1\}</math> [[centrum (algebra)|centrum]]. A [[fedés (topológia)|fedés]] univerzális, hiszen <math>\mathrm{SU}(2)\cong S^3</math> egyszeresen összefüggő. Spincsoportnak is nevezik, és <math>\mathrm{Spin}(3)</math>-mal is jelölik, és szorosan kapcsolódik a fizikai spinhez. Az <math>\mathrm{SU}(2)</math> → <math>\mathbb C^2</math> leképezés egy úgynevezett spinorábrázolás, azaz egy olyan ábrázolás, amiben a négyzetes mátrixok mérete páros. Három báziskvaternió, '''i''', '''j''' és '''k''' az SU(2) három [[hermitikus mátrix|hermitikus generáló mátrixának]], a [[Pauli-mátrixok]]nak felel meg:
:<math>\sigma_x :=\begin{pmatrix} 0, 1\\ 1, 0\end{pmatrix}</math> , <math>\sigma_y :=\begin{pmatrix} 0, -i\\ +i, 0\end{pmatrix}</math> , <math>\sigma_z :=\begin{pmatrix}+1, 0\\ 0, -1\end{pmatrix}</math>
| |||