„Naiv halmazelmélet” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Math (vitalap | szerkesztései)
Nincs szerkesztési összefoglaló
1. sor:
==Töténete==
'''Naiv halmazelmélet''' névvel a [[Cantor]] és [[Dedekind]] által kidolgozott első halmazelméletet nevezték el, természetsen csak azután, hogy kiderült, hogy problematikus.
A [[halmazelmélet]] alapjait [[Georg Cantor]] rakta le egy 1874-ben megjelent cikkében, melyben a [[valós számok]] nem [[megszámlálhatóan végtelen]] voltát bizonyította be elsőként. Cantor gondolata az volt, hogy ne csak számok, pontok, egyenesek összességeit tekintsük, hanem ezek összességeinek összességeit, ... is. Ekkor összességek végtelen hierarchiáját alkotjuk meg gondolatban ami érdekes matematikai és filozófiai problémákat vet fel. Az 1874-es cikk eredménye azért megdöbbentő, mert kiderül: ugyan természetes számból és valós számból is végtelen sok van, de mégis valamilyen szempontból a valós számok összessége "magasabbrendűen" (nem megszámlálható módon) végtelen mint ahogy a természetes számok összessége végtelen, sőt ahogy számból, úgy végtelenből is végtelen sok van. Cantor ezzel megteremtette a végtelen [[számosság]]ok elméletét. Az összességre a "menge" német szót használta, később más elnevezések is napvilágot láttak; a magyar nyelvben a [[halmaz]] szót használják matematikai szakkifejezésként. Eredményeit [[Richard Dedekind|Dedekind]], [[Gottlob Frege|Frege]] és [[Bertrand Russell|Russell]] is felhasználta. Szerencsétlenségükre Russell munkája során felfedezett egy ellentmondást, mely Cantor alapgondolatából következik (ez a [[Russell-paradoxon]]) és azt levélben meg is küldte Fregenek, aki ezt az érvelést az éppen nyomdába készülő könyvének utószavába be is illesztette. Ezzel 1903-ban napvilágot látott Cantor halmazelméletének ellentmondásossága. Azóta nevezik Cantor elméletét naiv (azaz kezdetleges) halmazelméletnek. (Valójában Cantor is felfedezett egy ellentmondást, ezt [[Cantor-paradoxon]] néven emlegetik.) A halmazelméletet sikerült az axiomatikus módszer segítségével megmenteni és az ismert ellentmondásaitól megszabadítani. A korban a feladatot Russell (a [[típuselmélet]]ben), [[Zermelo]] és [[Fraenkel]] (a [[Zermelo-Fraenkel halmazelmélet]]ben) és az [[intuicionizmus|intuicionisták]] a fajták elméletében oldották meg. Később más axiomatikus halmazelméletek is születtek (például a [[Neumann-Bernays-Gödel halmazelmélet]] és a [[Bourbaki]]-halmazelmélet).
 
== A naív halmazelmélet kiindulópontja ==
==Története==
 
A halmazelmélet kialakulása a 19. század végére tehető. A halmazelmélet úttörői és első képviselői, az úgynevezett naiv halmazelmélet kidolgozói Georg Cantor és Richard Dedekind voltak. A halmazelmélet e paradigmája szerint a halmaz fogalma nincs matematikai precizitással meghatározva, hanem az ösztönös szemléletre támaszkodik. A naiv halmazelmélet ellentmondásokhoz, úgynevezett antinómiákhoz vezet. Ilyen például az a feltételezés, hogy létezik az összes halmazok halmaza. Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika teljességgel visszavezethető a halmazelméletre, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.
 
Erre először [[Bertrand Russell]] jött rá, de idővel maga Cantor is erre a következtetésre jutott. Az ellentmondást [[Russell-paradoxon]] néven emlegetik. Kiküszöbölésére két áramlatba rendeződtek a megoldások. Az egyik a típuselmélet, a másik az axiomatikus halmazelmélet.
 
[[Gottlob Frege]] abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. Mások szükségesnek tartották szigorúan megkülönböztetni a dologkat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg [[a hazug paradoxona]] mögött, a [[Gödel-féle nemteljességi tétele]]kben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására.
 
Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit [[axiomatikus halmazelmélet]]nek nevezünk. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo-Fraenkel és a Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer. Eddig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat
 
== Bevezetés ==
 
A naiv halmazelmélet hallgatólagos alapfeltevése volt, hogy ha <math>T</math> valamilyen tulajdonság, akkor gondolhatunk mindazon dolgok összességére, melyekre a <math>T</math> tulajdonság teljesül. Ezt az összességet a <math>T</math> tulajdonság ''igazságtartományának'' nevezzük.
 
=== Jelölés ===
Magát a <math>T</math> tulajdonságot gyakran funkcionális jelölésmódban úgy jelöljük, hogy <math>T(x)</math>. Itt az <math>x</math> karaktert ''változó''nak nevezzük és azt jelképezi, hogy a <math>T(x)</math> kifejezés ''nyitott mondat'', igazságértéke még nem értelmezhető. ''Zárt'' kijelentő mondat – azaz olyan, melynek létezik igaz vagy hamis értéke – csak akkor lesz belőle, ha az <math>x</math> változó helyére valamilyen dolog nevét helyettesítjük.
25 ⟶ 13 sor:
== Ki nem mondott feltételezések ==
 
Eddigi fejtegetésünk a [[logikai grammatika]] témakörébe tartozik és legfeljebb az „igaznak lenni” minősítés homályos értelmezése felől támadható. ''Naiv''Ma halmazelméletmár úgy lett belőletudjuk, hogy [[Georg Cantor]] kimondatlanul feltételezte a következőketfentieken (ezekrefelül akimondatlanul rejtett és egy ideig fel nem tárt előfeltevésekre vonatkozikfeltételezte a „naiv” jelző)következőket:
# '''A komprehenzivitás elve:''' akármilyen <math>T(x)</math> tulajdonság esetén, az <math>x</math> változó helyére minden dolog nevét írhatjuk, és összegyűjthetjük az <math>\{x\mid T(x)\}</math> szimbólum alá az összes olyan dolgot mely teljesíti a <math>T(x)</math> tulajdonságot.
# '''Az extenzionalitás elve:''' Két összesség akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik megyegyeznek.
31 ⟶ 19 sor:
Cantor a ''menge'', azaz halmaz szót használta a <math>\{x\mid T(x)\}</math> összesség megnevezésére. Ha valamely <math>a</math> dolog benne van a <math>\{x\mid T(x)\}</math> halmazban, akkor ezt szimbolikusan így jelöljük: <math>a\in\{x\mid T(x)\}</math>.
 
== Az ellentmondás ==
== Problémák a naiv halmazelmélettel ==
A [[Russell-paradoxon]] feloldását mások máshogy képzelték.
 
[[Gottlob Frege]] abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. MásokRussell maga szükségesnek tartottáktartotta szigorúan megkülönböztetni a dologkat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg [[a hazug paradoxona]] mögött, a [[Gödel-féle nemteljességi tétele]]kben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására.
Mivel az <math>x\notin x</math> kijelentésben összességek is szerepelhetnek és az összességeket egyértelműen meghatározza a definiáló tulajdonságuk, így a <math>x\notin x</math> kijelentésből könnyen csinálhatunk saját magára hivatkozó mondatot: