„Harmadfokú egyenlet” változatai közötti eltérés

→‎Képlet és levezetés: Magyarázat a levezetéshez
(→‎Képlet és levezetés: Magyarázat a levezetéshez)
 
== Képlet és levezetés ==
 
=== Tartaglia-féle alakra hozás ===
Első lépésben bemutatjuk, hogy bármely harmadfokú egyenlet átalakítható <math>{y^3+py+q=0}\,\!</math> alakúvá. (Ezt bizonyította Ludovico Ferrari.)
 
Az általános harmadfokú egyenlet nullára rendezett alakja:
:<math>{ax^3+bx^2+cx+d=0}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''(1)'''
 
Az egyenlet mindkét oldalát leosztjuk <math>{a}\,\!</math>-val: (Ez biztosan megtehető, nem történik nullával való osztás, hisz harmadfokú egyenlet esetén a <math>a\ne 0 \,</math>.)
Bár fölírható erre is a megoldóképlet, az áttekinthetőség érdekében célszerű <math>{a}\,\!</math>-val leosztani:
 
:<math>{x^3+\frac bax^2+\frac cax+\frac da=0}\,\!</math>
 
Az alábbi egyenlet a hatványozás és szorzások elvégzése után pontosan a fentit adja, tehát a fentit átírhatjuk ebbe az alakba:
Ezt átírhatjuk ilyen alakba:
 
:<math>{\left(x+\frac b{3a}\right)^3+\left(x+\frac b{3a}\right)\left(\frac ca-\frac{b^2}{3a^2}\right)+\frac da+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}=0}\,\!</math>
:<math>{y^3+py+q=0}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''(2)'''
 
Tehát tetszőleges harmadfokú egyenlet Tartaglia-féle alakra hozható.
Erre a viszonylag egyszerű, és áttekinthető képlet:
 
=== Cardano- vagy Tartaglia-képlet ===
:<math>{y=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''(3)'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(Cardano- vagy Tartaglia-képlet)
Scipione del Ferro és Tartaglia bizonyította be, hogy a '''(2)''' alakú harmadfokú egyenletek (egyik) megoldását kiadja az alábbi képlet:
 
:<math>{y=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''(3)'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(Cardano- vagy Tartaglia-képlet)
----
Ennek levezetése az alábbi:
 
Írjuk föl az ismeretlent két tag összegeként:
Ezt '''(2)'''-vel összevetve a tényezők egyenlőségéből következik:
 
:<math>{-p=3uv}\,\!</math><math>{-q=u^3+v^3}\,\!</math>
 
:<math>{-q=u^3+v^3}\,\!</math>
 
E két egyenletből u-t kiküszöbölve kapjuk:
:<math>{x^3-2x-4=0}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''(4)'''
 
Gyöktényezős alakja (ahol komplex számot is használtunk):
:<math>{(x+1+i)(x+1-i)(x-2)=0}\,\!</math>
 
16

szerkesztés