„Harmadfokú egyenlet” változatai közötti eltérés

→‎Tartaglia-féle alakra hozás: Magyarázat letisztázása
(→‎Képlet és levezetés: Magyarázat a levezetéshez)
(→‎Tartaglia-féle alakra hozás: Magyarázat letisztázása)
:<math>{ax^3+bx^2+cx+d=0}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''(1)'''
 
Az egyenlet mindkét oldalát leosztjuk <math>{a}\,\!</math>-val: (Ez biztosan megtehető, nem történik nullával való osztás, hisz harmadfokú egyenlet esetén a <math>a\ne 0 \,</math>.)
 
:<math>{x^3+\frac bax^2+\frac cax+\frac da=0}\,\!</math>
:<math>{y=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}}\,\!</math>
 
=== MagyarázatTovábbi egygondolatok konkrét példánpéldákon keresztül ===
Elsőként lássuk, ha '''egy valós''' gyök van:
 
:<math>{xy^3-2x2y-4=0}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''(4)'''
 
A képletbe behelyettesítve <math>{p=-2}</math> és <math>{q=-4}</math> értékeket:
Gyöktényezős alakja (ahol komplex számot is használtunk):
:<math>{(x+1+i)(x+1-i)(x-2)=0}\,\!</math>
 
:<math>{xy = \sqrt[3]{\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{\frac{4}{2}-\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^3}}}\,\! = 1</math>
A képlet:
 
Ezzel a példával tehát nincs semmi probléma.
:<math>{x = \sqrt[3]{\frac{4}{2}+\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{\frac{4}{2}-\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^3}}}\,\!</math>
 
A következő példának azonban két megoldása van:
Látható, hogy '''egész''' együtthatók (ill. gyökök) esetén is végig [[irracionális szám]]okkal kell dolgozni.
 
:<math>{xy^3-3x3y+2=0}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''(5)'''
Nézzük meg a következő példát:
 
A képletbe behelyettesítve <math>{p=-3}</math> és <math>{q=2}</math> értékeket:
:<math>{x^3-3x+2=0}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''(5)'''
 
:<math display="inline">{xy = \sqrt[3]{\frac{-2}{2}+\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{\frac{-2}{2}-\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{3}\right)^3}} = \sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-1} = -2}\,\!</math>.
Könnyen kitalálható és ellenőrizhető, hogy a megoldása 1 és -2.
 
GyöktényezősCsakhogy az egyenletnek az 1 is megoldása, melyet az egyenlet gyöktényezőkre bontott alakja is mutat: <math>{(xy-1)(xy-1)(xy+2)=0}\,\!</math>,. tehát az(Az 1 '''kettős gyök'''. A megoldás során a másodfokú egyenlet [[diszkrimináns]]a 0.)
 
A XVI. század első felében a negatív gyököket nem vették figyelembe, így számukra csak az 1 a megoldás. CsakhogyA behelyettesítveképlet '''(3)'''-balevezetése <math>{p=-3}</math>-atlogikailag éshibátlan, <math>{q=2}</math>így érthetetlen volt, hogy az 1-t:et nem adja ki.
 
Tekintsük most a következő példát, amelynek három megoldása is van (1, 2 és -3):
:<math>{x = \sqrt[3]{\frac{-2}{2}+\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{\frac{-2}{2}-\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{3}\right)^3}} = \sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-1} = -2}\,\!</math>.
 
:<math>{xy^3-7x7y+6=0}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''(6)'''
A képlet levezetése logikailag hibátlan, így az 1-t is ki kell adnia. Ám a valós számtestben maradva ez képtelenséghez vezet:
A megoldóképletbe behelyettesítve azonban a gyök alatt negatív értéket kapunk:
:<math>{\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-1}=1}\,\!</math>
:<math>{\mathbf{D}=3mathbf3^2-\left(\frac {7}{3}\right)^3\approx-3,7}\,\!</math>.
 
:<math>{\sqrt[3]{-1}=1/2}\,\!</math>
 
:<math>{-1=\frac {1}{8}}\,\!</math>
 
Ez csak úgy oldható föl, ha kilépünk a valós számtestből.
 
Tekintsük most az
 
:<math>{x^3-7x+6=0}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''(6)'''
példát.
 
Gyökei: 1, 2 és -3. A megoldás során a másodfokú egyenlet diszkriminánsa negatív:
:<math>{\mathbf{D}=3^2-\left(\frac {7}{3}\right)^3\approx-3,7}\,\!</math>.
 
És mindig ez történik, ha [[casus irreducibilis|három különböző valós gyök]] van. Elképzelhető azok zavara, akik igyekeztek megkerülni a negatív számok használatát, most pedig négyzetgyököt kellett vonniuk belőlük. Cardano is sokat foglalkozott ezzel az esettel, de komolyabb eredményt nem ért el. Helyesen feltételezte, hogy a
 
Tehát
:<math>{u=\frac{1}{2}+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)i}\,\!</math><math>{v=\frac12-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)i}\,\!</math>
 
:<math>{y=u+v=\frac12-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)i1}\,\!</math>.
 
:<math>{x=u+v=1}\,\!</math>.
 
A fenti gondolatmenetbe <math>{-1}</math> helyett bármely valós számot írhatunk, így
:<math>{a=-\frac\sqrt[3]\mathbf{R}2}</math>,&nbsp; &nbsp;&nbsp;<math>{b_1=\left(\frac\sqrt32 \right) \sqrt[3]\mathbf{R}}\,\!</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>{b_2=-\left(\frac\sqrt32 \right) \sqrt[3]\mathbf{R}}</math>.
Tehát:
:<math>{xy=u+v=-\frac\sqrt[3]\mathbf{R}2\,+\left (\left(\frac\sqrt32 \right) \sqrt[3]\mathbf{R}\right)i\,+\frac\sqrt[3]\mathbf{R}2\,-\left(\left (\frac\sqrt32 \right) \sqrt[3]\mathbf{R}\right)i \,=-2\left(\frac\sqrt[3]\mathbf{R}2\right)=-\sqrt[3]\mathbf{R}}\,\!</math>.
 
Mindez következik a gyöktényezős alakból is: mivel <math> {xy^2}</math> együtthatója <math> {0}</math>, így <math> {x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=0}</math>, jelen esetben kettős gyök van, tehát <math> {x_1y_1+x_2y_2=-x_3y_3}</math>, vagyis <math>{-2x_12y_1=x_3y_3}</math>.
 
Persze abban az időben (mivel kerülték a negatív együtthatók használatát) nem rendezték 0-ra az egyenleteket, így a gyöktényezős alakot sem ismerhették.
 
<big>jelölés:</big>&nbsp;&nbsp;
<sup><math>\Delta ={{\left( \frac{B}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{A}{3} \right)}^{3}}</math></sup><br /><br />
 
<big>Ha</big>&nbsp;&nbsp;<sup><math>\Delta \ge 0</math></sup>&nbsp;&nbsp;<big>akkor a gyökvonás elvégezhatő és az egyenletnek mindig egy valós és két konjugált komplex(egymás tükörképei) megoldása lesz:</big><br /><br />
 
:<sup>
:<math>{{x}_{1}}=-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{-\frac{B}{2}+\sqrt{\Delta }}+\sqrt[3]{-\frac{B}{2}-\sqrt{\Delta }}</math>
:<sup><math>{{x}_{2,3}}=-\frac{b}{3a}-\frac{1}{2}\left( \sqrt[3]{-\frac{B}{2}+\sqrt{\Delta }}+\sqrt[3]{-\frac{B}{2}-\sqrt{\Delta }} \right)\pm i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\left( \sqrt[3]{-\frac{B}{2}+\sqrt{\Delta }}-\sqrt[3]{-\frac{B}{2}-\sqrt{\Delta }} \right)</math>
:</sup>
:
<br /><br />
<big>Ha viszont</big>&nbsp;&nbsp;<sup><math>\Delta <0</math></sup>&nbsp;&nbsp;<big>akkor másképp kell számolni, és az eredmény mindig valós lesz:</big><br /><br />
 
:<sup>
:<math>{{x}_{2,3}}=-\frac{b}{3a}-\frac{1}{2}\left( \sqrt[3]{-\frac{B}{2}+\sqrt{\Delta }}+\sqrt[3]{-\frac{B}{2}-\sqrt{\Delta }} \right)\pm i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\left( \sqrt[3]{-\frac{B}{2}+\sqrt{\Delta }}-\sqrt[3]{-\frac{B}{2}-\sqrt{\Delta }} \right)</math>
:</sup>
<br /><br />
<big>Ha viszont</big>&nbsp;&nbsp;<sup><math>\Delta <0</math></sup>&nbsp;&nbsp;<big>akkor másképp kell számolni, és az eredmény mindig valós lesz:</big><br /><br />
 
:<math>{{x}_{1}}=-\frac{b}{3a}+2\cdot \sqrt{-A/3}\cdot \cos \left( \frac{1}{3}\arccos \frac{-B/2}{\sqrt{{{\left( -A/3 \right)}^{3}}}} \right)</math>
<br /><br />
 
:<math>{{x}_{2,3}}=-\frac{b}{3a}+2\cdot \sqrt{-A/3}\cdot \cos \left( \frac{2\pi }{3}\pm \frac{1}{3}\arccos \frac{-B/2}{\sqrt{{{\left( -A/3 \right)}^{3}}}} \right)</math>
 
:<math>{{x}_{1}}=-\frac{b}{3a}+2\cdot \sqrt{-A/3}\cdot \cos \left( \frac{1}{3}\arccos \frac{-B/2}{\sqrt{{{\left( -A/3 \right)}^{3}}}} \right)</math><math>{{x}_{2,3}}=-\frac{b}{3a}+2\cdot \sqrt{-A/3}\cdot \cos \left( \frac{2\pi }{3}\pm \frac{1}{3}\arccos \frac{-B/2}{\sqrt{{{\left( -A/3 \right)}^{3}}}} \right)</math>
==Hivatkozások==
===Jegyzetek===
16

szerkesztés