„Harmadfokú egyenlet” változatai közötti eltérés

(→‎Cardano- vagy Tartaglia-képlet: További tisztázás)
Ezt '''(2)'''-vel összevetve a tényezők egyenlőségéből következik:
 
:<math>{-p=-3uv}\,\!</math><math>{-q=u^3+v^3}\,\!</math>
Mivel :<math>{yq=u+v=\sqrt[3]{-u^3}+\sqrt[3]{-v^3}}\,\!</math>,
 
Az elsőt átrendezve megkapjuk, hogy <math>{u=-p/3v}\,\!</math>, melyet behelyettesítve a másodikba a következőhöz jutunk:
E két egyenletből u-t kiküszöbölve kapjuk:
:<math>{v^6+qv^3-\left(\frac p3\right)^3=0}\,\!</math>
 
Ez egy másodfokú egyenlet <math>{v^3}</math>-re., <math>{v}</math>-tamiből kiküszöbölvea ismásodfokú ugyaneztegyenlet azmegoldóképletével egyenletet kapjuk,megkapjuk csaka <math>{u^3}</math>-re.két Tehátmegoldást:
:<math>{v^3, u^3=-\frac q2\pm\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}\,\!</math>
 
ÉsUgyanezt kapjuk, ha <math>{u}\,\!</math> helyett <math>{v}\,\!</math>-t helyettesítjük be, és mivel a kettőt nem különböztetjük meg, nyugodtan vehetjük, hogy:
 
:<math>{v^3=-\frac q2+\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}\,\!</math>
:<math>{u^3=-\frac q2-\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}\,\!</math>
 
Mivel <math>{y=u+v=\sqrt[3]{u^3}+\sqrt[3]{v^3}}\,\!</math>, ezért a '''(2)''' egyenlet megoldása:
''Ezt a másodfokú egyenletet a harmadfokú egyenlet [[rezolvens]]ének (megoldó egyenletének) nevezik. (A [[negyedfokú egyenlet]] rezolvense egy harmadfokú egyenlet.)''
 
Mivel <math>{y=u+v=\sqrt[3]{u^3}+\sqrt[3]{v^3}}\,\!</math>,
:<math>{y=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\left(\frac q2\right)^2+\left(\frac p3\right)^3}}}\,\!</math>
 
16

szerkesztés