„Jacobi-módszer” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
FoBe (vitalap | szerkesztései) a Articles with example pseudocode kategória eltávolítva (a HotCattel) |
FoBe (vitalap | szerkesztései) Bedolgozandó |
||
1. sor:
{{
A '''Jacobi-módszer''' (vagy '''Jacobi-féle sajátértékmódszer''') néven ismert eljárás egy [[iteráció|iteratív]] módszer, amely kis méretű (n<10) szimmetrikus valós [[mátrix (matematika)|mátrixok]] [[Sajátvektor és sajátérték|sajátértékeinek]] és [[Sajátvektor és sajátérték|sajátvektorainak]] a meghatározására használható. Ezen módszer célja a mátrix főátlón kívüli elemeinek iteratív eljárással történő kinullázása. A Jacobi-módszer esetén az iterációs lépéseket addig ismételjük, míg egy általunk meghatározott pontosságig az ismeretleneket meg nem határozzuk. Ez azt fogja jelenteni, hogy akkor állunk meg a lépesekkel, mikor már két egymás utáni lépésben kapott ismeretlen értékek különbsége kisebb egy általunk meghatározott értéknél.
A Jacobi-módszer esetében az iterációs képlet a következő lesz:
<math>x_i^{(k)}={b_i\over a_{ii}}-\sum_{j=1,j\ne i}^n a_{ij} x_j^{(k-1)}</math>
Ahhoz, hogy könnyebben megérthessük a módszer elvét, tekintsünk egy példát:
<math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} {x_1 \choose x_2}={b_1 \choose b_2}</math>
Hogy jobban áttekinthető legyen, átírhatjuk egyenletek formájába, amely így nézhet ki:
<math>\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases}</math>
Innen kifejezhető az x<sub>1</sub> és x<sub>2</sub> ismeretlen, így a következő egyenleteket kapjuk:
<math>x_1=-{a_{12}\over a_{11}}x_2+{b_1\over a_{11}}</math>,
<math>x_2=-{a_{21}\over a_{22}}x_1+{b_2\over a_{22}}</math>
Az így kapott egyenletrendszert úgy oldhatjuk meg, hogy kezdetben kiindulunk az <math>x_1^{(0)}</math>, illetve az <math>x_2^{(0)}</math> legjobb becslésünkből, vagy az egyszerűség kedvéért indulhatunk 0-ból is. Ezután felhasználva az
<math>x_1^{(k)}=-{a_{12}\over a_{11}}x_2^{(k-1)}+{b_1\over a_{11}}</math>,
<math>x_2^{(k)}=-{a_{21}\over a_{22}}x_1^{(k-1)}+{b_2\over a_{22}}</math>
lépéseket, eljuthatunk egy jobb közelítő értékig. Ezt addig alkalmazzuk, amíg az ismeretleneket tetszőleges pontossággal meg nem határozzuk.
== Források ==
* Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc: Numerikus módszerek, egyetemi jegyzet, 2008
* Digitális tankönyvtár/Természettudományok/Matematika/Numerikus módszerek 1./Jacobi-módszer
[[Kategória:Lineáris algebra]]
|