„Erősen összetett számok” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
a (→‎Példák: File: → Fájl:)
 
Egy '''erősen összetett szám''' (highly composite number, '''HCN''') olyan pozitív egész szám, melynek több [[osztó]]ja van bármelyik nála kisebb pozitív egésznél. A kifejezést elsőként [[Rámánudzsan]] használta 1915-ben – [[Jean-Pierre Kahane]] szerint azonban visszavezethető [[Platón]]ig, aki szerint [[5040 (szám)|5040]] a városlakók ideális száma, mivel 5040-nek több osztója van a kisebb számoknál.<ref>{{citation|first=Jean-Pierre|last=Kahane|authorlink=Jean-Pierre Kahane|title=Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'øeuvre|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|date=February 2015|volume=62|issue=2|pages=136–140}}. Kahane cites Plato's [[Laws (dialogue)|''Laws'']], 771c.</ref>
 
Kapcsolódó fogalom a '''nagyon összetett szám''', ami olyan pozitív egészekre vonatkozik, aminek legalább annyi osztója van, mint bármely nála kisebb pozitív egésznek.
: <math>a_0^{14} a_1^9 a_2^6 a_3^4 a_4^4 a_5^3 a_6^3 a_7^3 a_8^2 a_9^2 a_{10}^2 a_{11}^2 a_{12}^2 a_{13}^2 a_{14}^2 a_{15}^2 a_{16}^2 a_{17}^2 a_{18}^{2} a_{19} a_{20} a_{21}\cdots a_{229},</math>
 
ahol <math>a_n</math> egymást követő prímszámok sorozata, és a kihagyott tagok (''a''<sub>22</sub>-tól ''a''<sub>228</sub>-ig) egyes kitevőjű tényezők (tehát másként felírva a szám <math>2^{14} \times 3^{9} \times 5^6 \times \cdots \times 1451</math>). <ref>{{citation | last = Flammenkamp | first = Achim | title = Highly Composite Numbers | url = http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html}}.</ref>
| last = Flammenkamp | first = Achim
| title = Highly Composite Numbers
| url = http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html}}.</ref>
 
[[Fájl:Highly_composite_numbers.svg|thumb|250px|Az 1–1000 közötti egész számok osztóinak száma. Az első 15 erősen összetett szám félkövéren látható.]]
Ha ''Q''(''x'') jelöli az ''x''-nél nem nagyobb erősen összetett számok számát, akkor létezik két, 1-nél nagyobb ''a'' és ''b'' konstans, melyekre igaz, hogy
:<math>\ln(x)^a \le Q(x) \le \ln(x)^b \, .</math>
Az egyenlőtlenség első részét [[Erdős Pál]] bizonyította 1944-ben, a másodikat [[Jean-Louis Nicolas]] 1988-ban. A konstansokra a jelenlegi legjobb közelítés<ref name=HBI45>Sándor et al (2006) p.45</ref>
 
:<math>1,13862 < \liminf \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1,44 \ </math>
Az erősen összetett számok sorozata {{OEIS|id=A002182}} részsorozata a pontosan ''n'' osztóval rendelkező legkisebb ''k'' számok sorozatának {{OEIS|id=A005179}}.
 
Egy ''n'' pozitív egész '''nagyon összetett szám''', ha ''d''(''n'') ≥ ''d''(''m'') minden ''m'' ≤ ''n''-re. A nagyon összetett számokat számláló ''Q''<sub>''L''</sub>(''x'') függvény eleget tesz a
:<math>(\log x)^c \le \log Q_L(x) \le (\log x)^d \ </math>
egyenlőtlenségnek minden pozitív ''c'',''d''-re, amennyiben <math>0,2 \le c \le d \le 0,5</math>.<ref name=HNTI46>Sándor et al (2006) p.46</ref><ref name=Nic79>{{cite journal | last=Nicolas | first=Jean-Louis | authorlink=Jean-Louis Nicolas | title=Répartition des nombres largement composés | language=French | zbl=0368.10032 | journal=Acta Arith. | volume=34 | pages=379–390 | year=1979 }}</ref>
* [https://web.archive.org/web/19980707133810/www.math.princeton.edu/~kkedlaya/math/hcn-algorithm.tex Algorithm for computing Highly Composite Numbers]
* [https://web.archive.org/web/19980707133953/www.math.princeton.edu/~kkedlaya/math/hcn10000.txt.gz First 10000 Highly Composite Numbers]
* [http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors]
* [http://www.javascripter.net/math/calculators/highlycompositenumbers.htm Online Highly Composite Numbers Calculator]