„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
=== Az <math>\sqrt[n]{n}</math> sorozat határértéke===
Megmutatjuk, hogy <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1</math>. Valóban, hiszen a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
<center><math>1\le\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}*\cdot 1*\cdot\ldots*1\cdot1} \le\frac{2\sqrt{n}+ n-2}{n}=1+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{n}\to 1.</math></center>
 
===Az <math>\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n</math> sorozat korlátos és szigorúan monoton növekedő===
Megmutatjuk, hogy <math>\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \le 4</math>. Valóban, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
<center><math>
\sqrt[n+2]{\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n} *\cdot \frac{1}{2} *\cdot \frac{1}{2}}
\le \frac{n \left( 1+ \frac{1}{n} \right)+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}}{n+2}=1.
</math></center>
A szigorúan monoton növekedéshez azt kell igazolni, hogy <math>\left( 1+ \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} > \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}</math>. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
<center><math>
\sqrt[n+1]{\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n}*\cdot 1} \le \frac{n \left( 1+\frac{1}{n} \right)+1}{n+1}=1+ \frac{1}{n+1}.
</math></center>
Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy <math>\left( 1+ \frac{x}{n} \right)^n</math> is korlátos és szigorúan monoton növekedő, ahol <math>x</math> tetszőleges valós szám.