Wikipédia

„Számtani-mértani sorozat” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Uno20001 (vitalap | szerkesztései)
577 szerkesztés
Uno20001 (vitalap | szerkesztései)
577 szerkesztés
Nincs szerkesztési összefoglaló
Címke: törlésre jelölés
1. sor:
{{lektortörlés}}
A [[Matematika|matematikában]] a '''számtani–mértani sorozatok''' (''angolul'': {{nyelv|en|arithmetico–geometric sequence}}) olyan sorozatok, amelyek valamilyen módon általánosítják a [[Számtani sorozat|számtani]] és [[Mértani sorozat|mértani sorozatokat]].
 
A [[Matematika|matematikában]] a '''számtani–mértani sorozatok''' olyan sorozatok, amelyek egy lineáris rekurzív relációt teljesítenek, ezáltal általánosítva a [[számtani sorozat|számtani]] és [[mértani sorozat]]okat.
== A név kétértelműsége ==
Mivel az általánosítás nem csak egyféleképpen tehető meg, ezért ezen név alatt több dolog is érthető. Az angol és amerikai szakirodalomban a számtani–mértani sorozatok, azaz az ''{{nyelv|en|arithmetico–geometric}}'' sorozatok, egy [[számtani sorozat|számtani]] és egy [[mértani sorozat]] tagonkénti összeszorzásának eredményei. Ezzel szemben a francia szakirodalomban ugyanezen név (''{{nyelv|fr|suite arithmético-géométrique}}'') alatt egy bizonyos lineáris rekurziót teljesítő sorozatokat értenek.
 
== Angol értelmezésDefiníció ==
Az angol szakirodalomban a számtani–mértani sorozatok olyan sorozatok, amelyek egy [[számtani sorozat|számtani]] és egy [[mértani sorozat]] tagonkénti összeszorzásának eredményei. Azaz egy számtani–mértani sorozat ''n''-edik tagja egy számtani sorozat ''n''-edik és egy mértani sorozat ''n''-edik tagjának szorzata. A matematika különböző területein megjelennek az ilyesféle sorozatok, például a [[valószínűségszámítás]]on belül bizonyos [[várható érték]] problémáknál. Például, a
 
:<math>\dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}, \ \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}, \ \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}, \ \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}, \ \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}, \ \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}, \cdots </math>
 
sorozat egy ilyen sorozat. A számtani komponens a számlálóban jelenik meg (kékkel jelölve), míg a mértani rész a nevezőben található (zölddel jelölve).
 
=== A sorozat tagjai ===
Egy ''a'' kezdőértékű, ''d'' különbségű számtani sorozat (kékkel jelölve); és egy ''b'' kezdőértékű, ''q'' hányadosú mértani sorozat (zölddel jelölve) tagonkénti összeszorzásából adódó sorozat első pár tagja a következőképpen alakul:<ref name="RHB118">{{cite book |author1=K. F. Riley |author2=M. P. Hobson |author3=S. J. Bence |title= Mathematical methods for physics and engineering|edition= 3rd|year= 2010|page=118|publisher= Cambridge University Press|isbn=978-0-521-86153-3}}</ref>
 
:<math>
\begin{align}
t_1 & =\color{blue}a \color{green}b \\
t_2 & =\color{blue}(a+d) \color{green}bq \\
t_3 & =\color{blue}(a+2d)\color{green} bq^2 \\
& \ \,\vdots \\
t_n & =\color{blue}[a+(n-1)d]\color{green} bq^{n-1}
\end{align}
</math>
 
=== Tagok összege ===
Egy számtani–mértani sorozat első ''n'' tagjának összege
:<math>
\begin{align}
S_n & = \sum_{k = 1}^n t_k = \sum_{k = 1}^n \left[a + (k - 1) d\right] bq^{k - 1} \\
& = ab + [a + d] bq + [a + 2 d] bq^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] bq^{n - 1},
\end{align}
</math>
 
a következő zárt képletek valamelyikével számítható:
 
:<math>S_n = b \left( \frac{a - [a + nd] q^n}{1 - q} + dq \frac{1 - q^n}{(1 - q)^2} \right),</math>
:<math>S_n = b \left( \frac{a - [a + (n-1)d] q^n}{1 - q} + dq \frac{1 - q^{n-1}}{(1 - q)^2} \right).</math>
 
==== Levezetés ====
A következőkben az első képlet levezetése következik. Mivel ''b'' mint szorzótényező minden tagban megtalálható, ezért elég csak a végén megszorozni az összeget ''b''-vel, hogy a ''b'' értékét figyelembe vegyük, így a továbbiakban feltételezzük, hogy ''b = 1''.
 
:<math>
\begin{align}
S_n &= a + (a + d) q + (a + 2d) q^2 + (a + 3d) q^3 + \dots + (a + (n-2)d) q^{n-2} + (a + (n-1)d) q^{n-1} \\
&= a + q \left[ (a+d) + (a+2d)q + (a+3d)q^2 + \dots + (a + (n-2)d) q^{n-3} + (a + (n-1)d) q^{n-2} \right]
\end{align}
</math>
 
Megfigyelhető, hogy az eredeti összeg és a kiemelés után a zárójelen belül maradt rész rendkívül hasonló az eredeti összeghez: ha az eredeti összeg minden tagjához hozzáadunk egy ''d''-t és kivonjuk az utolsó tagot, akkor pontosan a zárójelen belül maradt részt kapjuk.
 
:<math>
\begin{align}
&\ a + (a + d)q + (a + 2d)q^2 + (a + 3d)q^3 + \dots + (a + (n-2)d)q^{n-2} + (a + (n-1)d)q^{n-1} \\
+ &\ d + d q + d q^2 + d q^3 + \dots + d q^{n-2} + d q^{n-1} \\
= &\ (a + d) + (a + 2d)q + (a + 3d) q^2 + \dots + (a + (n-1)d)q^{n-2} + (a + nd) q^{n-1}
\end{align}
</math>
 
Azaz,
:<math>
\begin{align}
\ & S_n + d ( 1 + q + q^2 + \dots + q^{n-1}) - (a + nd) q^{n-1} \\
=\ & S_n + d \frac{1-q^n}{1-q} - (a + nd) q^{n-1} \\
=\ & (a + d) + (a + 2d)q + (a + 3d) q^2 + \dots + (a + (n-1)d)q^{n-2}.
\end{align}
</math>
 
Ebből kifolyólag,
:<math>
\begin{align}
S_n &= a + q \left[ S_n + d \frac{1-q^n}{1-q} - (a + nd) q^{n-1} \right] \\
S_n &= a + q S_n + dq \frac{1 - q^n}{1 - q} - (a + nd) q^n \\
S_n &= \frac{a - (a + nd) q^n}{1 - q} + dq \frac{1 - q^n}{(1 - q)^2}.
\end{align}
</math>
 
=== Végtelen sorként ===
Az első ''n'' tag összegképletéből látható, hogy akkor konvergens egy végtelen számtani–mértani sor, ha ''|q| < 1'', ekkor a határértéke
:<math>
\sum_{n=1}^{\infty} t_n = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \frac{a}{1 - q} + \frac{dq}{(1 - q)^2}.
</math>
 
Ha nem teljesül a ''|q| < 1'' feltétel, akkor a sorozat
* alternáló, ha ''q ≤ 1'';
* [[Divergens sorozat|divergens]], ha ''1 ≤ q'' és ''a'' és ''d'' nem nulla; ha ''a'' és ''d'' nulla, akkor a sor összege 0.
 
==== Példa alkalmazás: várható érték érmefeldobásnál ====
Az <math>a = 0, b = 1, d = 1, q = \frac{1}{2}</math> által meghatározott számtani–mértani sorozat,
 
:<math>
S = \dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}+\dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}+\dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}+\dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}+\dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}+\dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}+\cdots = 2,
</math>
 
megfelel az első "írás" dobásához szükséges dobások várható számának. Annak az esélye, hogy a ''k''-adik dobáskor dobunk először írást,
:<math>T_1=\frac 1{2}, \ T_2=\frac 1{4},\dots, T_k = \frac 1{2^k}.</math>
 
Azaz a várható dobások száma az első íráshoz,
:<math>\sum_{k=1}^{\infty} k T_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\color{blue}k}{\color{green}2^k} = S = 2.</math>
 
== Francia értelmezés ==
A francia szakirodalomban a számtani–mértani sorozatok olyan sorozatok, amelyek egy lineáris rekurzív relációt teljesítenek, ezáltal általánosítva a [[Számtani sorozat|számtani]] és [[Mértani sorozat|mértani sorozatokat]].
 
=== Definíció ===
Egy számtani–mértani sorozat a következő lineáris rekurzív relációval definiálható:
:<math>a_n = qa_{n-1} + d \qquad (n > 1),</math>
112 ⟶ 13 sor:
Emiatt a továbbiakban csak a ''q ≠ 1'' esettel foglalkozunk.
 
=== A sorozat tagjai ===
 
Először is legyen <math>A = a_1</math> és <math>D = d</math> a továbbiak megkönnyítése érdekében. Ahhoz, hogy ezen rekurzióhoz zárt képletet találjuk, a következő ötletet alkalmazhatjuk: tekintsük a sorozat tagjait ''q'' számrendszerbeli számoknak. Noha nem feltétlenül kapunk érvényes ''q'' számrendszerbeli számokat (hiszen ''A'' és ''D'' lehet nagyobb, mint ''q''), ezzel a módszerrel megkönnyíthetjük egy adott és tag ábrázolását, és rögtön megkapjuk a zárt képletet. Ekkor a tagok ábrázolása ''q'' számrendszerben a következőképpen alakul:
 
120 ⟶ 22 sor:
a_2 &= AD_{q} &=Aq^1 + Dq^0 \\
a_3 &= ADD_{q} &=Aq^2 + Dq^1 + Dq^0 \\
a_4 &= ADDD_ADD_{q} &=Aq^3 + Dq^2 + Dq^1 + Dq^0 \\
& \vdots \\
a_n &= ADD \dots D_{q} &= Aq^{n-1} + Dq^{n-2} + \dots + Dq^0 \\
130 ⟶ 32 sor:
Mivel látható, hogy az ''n''-edik tag pontosan ''n'' darab ''q'' számrendszerbeli számjegyből áll, amelyek közül a legnagyobb helyiértéken ''A'', a többin mind ''D'' áll, ezért ''n''-edik tag felírható a következőképpen:
 
:<math>
:<math>a_n = A q^{n-1} + D ( q^{n-2} + q^{n-3} + \dots + 1) = a_1 q^{n-1} + d \frac{q^{n-1} - 1}{q - 1}.</math>
a_n = A q^{n-1} + D ( q^{n-2} + q^{n-3} + \dots + 1) = a_1 q^{n-1} + d \frac{q^{n-1} - 1}{q - 1}.</math>
 
== Tagok összege ==
 
=== Tagok összege ===
Miután tudjuk, hogy hogyan fejezzük ki a sorozat ''n''-edik tagját, már könnyen felírhatjuk az első ''n'' tag összegét.
 
157 ⟶ 61 sor:
</math>
 
=== Alkalmazás ===
 
Számtani–mértani sorozatokkal modellezhetőek például populációk (konstans beáramlás, arányos fogyás stb.). Ha például egy városból minden évben elvándorol a lakosság tíz százaléka, de év végén mindig betelepítenek ezer embert, akkor a következő sorozattal modellezhető a város lakossága:
:<math>p_{n} = 0.9 p_{n-1} + 1000 = p_1 0.9^{n-1} + 1000 \frac{0.9^{n-1} - 1}{0.9 - 1}.</math>
200 ⟶ 105 sor:
 
== Fordítás ==
* {{fordítás|enfr|Arithmetico–geometricSuite sequencearithmético-géométrique|oldid=844674313137395897}}
* {{fordítás|fr|Suite arithmético-géométrique|oldid=137395897}}
 
== Jegyzetek ==
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Számtani-mértani_sorozat”