Wikipédia

„Bohr-féle atommodell” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
a link
teljes átdolgozás forrásokkal
1. sor:
A '''Bohr-féle atommodell''' [[Niels Bohr]] [[Nobel-díj]]as dán fizikus által 1913-ban közzétett modell az atom felépítéséről.
{{nincs forrás}}{{Átdolgozandó}}[[Fájl:Bohr atom model English.svg|bélyegkép|400px|jobbra|A Bohr-féle atommodell]]
A '''Bohr-féle atommodell''' a [[Rutherford-kísérlet|Rutherford-féle atommodell]] javított változata. A pozitívan töltött [[atommag]] körül keringenek az [[elektron]]ok – hasonlóan a [[Naprendszer]]hez. Ez a modell sikeresen magyarázta a [[Rydberg-formula|Rydberg-formulát]] és a [[hidrogén]] színképét, viszont más, finomabb részleteket nem tudott megindokolni. Ma már az [[atom]] [[kvantummechanika]]i leírása teljesebb, ezt a modellt azonban egyszerűsége miatt még mindig tanítják.
 
A vonalas színképek értelmezésére és az atomok stabilitásának magyarázatára a korábban [[Ernest Rutherford]] által kifejlesztett [[Rutherford-kísérlet|Rutherford-féle atommodell]] nem volt alkalmas. Bohr ezt az elképzelést a [[Max Planck|Planck-féle kvantumfeltétellel]] és az [[Albert Einstein|Einstein-féle]] [[foton|fotonhipotézissel]] kiegészítve továbbfejlesztette.<ref name="bohr1">{{cite journal | author=Niels Bohr | title=On the Constitution of Atoms and Molecules, Part I | journal=Philosophical Magazine | year=1913 | volume=26 | pages=1–24 | doi= 10.1080/14786441308634955| url=http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13/eng.pdf | issue=151}}</ref><ref>{{cite journal | author=Niels Bohr | title=On the Constitution of Atoms and Molecules, Part II Systems Containing Only a Single Nucleus | journal=Philosophical Magazine | year=1913 | volume=26 | pages=476–502 | url=http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13b/eng.pdf | doi=10.1080/14786441308634993 | issue=153}}</ref>
A Bohr modell félig kvantumos jellegű, és így posztulátumokra támaszkodik:
*Az elektron az atommag körül körpályán mozog a klasszikus mechanika törvényei szerint. (A centripetális erőt a Coulomb-erő szolgáltatja.)
*Az elektronok csak bizonyos megengedett sugarú pályákon keringhetnek, amelyeken nem sugároznak. Mivel az E energia ezeken a pályákon állandó, az elektron stacionárius állapotban van.
*A stacionárius állapotok közti átmenetek úgy mennek végbe, hogy az elektron átugrik egyik állapotból a másikba, és eközben az atom elektromágneses hullámokat bocsát ki. A két energiaállapot közti különbség egyenlő a kibocsátott vagy elnyelt sugárzás energiakvantumával. (A modell ezen a ponton tér el gyökeresen a makroméretű keringő mozgások, égitestek fizikájától.)
*az energiaszintek az [[Perdület|impulzusmomentum]] (L) diszkrét értékeitől függenek:
:<math>L = n \cdot \frac{h}{{2\pi }} = n \cdot \hbar</math>
::ahol az '''n''' a főkvantumszám, a '''h''' pedig a [[Planck-állandó]]
 
A klasszikus fizikát alapfeltevésekkel, posztulátumokkal kiegészített modell elméletileg nem volt levezethető a klasszikus fizika alapján, de sikeresen magyarázta a [[Rydberg-formula|Rydberg-formulát]] és a [[hidrogén]] színképét. Nem lehet vele értelmezni bonyolultabb atomok vonalas színképét, vagy akár kísérletileg megfigyelhető finomabb részleteket sem, erre csak az [[atom]] [[kvantummechanika|kvantumfizikai]] leírása alkalmas. A Bohr-modell azonban az atom felépítésének egy nagyon szemléletes leírása és az ott bevezetésre kerülő fogalmak (pl. pálya, stacionárius állapot) a kvantumfizikai modellben is használatosak.
== A hidrogén energiaszintjei==
A Bohr-modell jó eredményeket csak az egy elektronnal rendelkező rendszerek esetében ad, ilyenek a [[hidrogén]] vagy az ionizált [[hélium]].
 
==A modell alapfeltevései==
A modell abból indul ki, hogy az elektronokat a Coulomb-erő tartja pályán, illetve hogy a Coulomb-erő egyenlő a [[centripetális gyorsulás|centripetális erővel]]:
[[Fájl: Bohr-atom-PAR.svg|bélyegkép|200px|jobbra|Az elektronok stacionárius körpályái az atommag körül a Bohr-féle atommodell szerint]]
A [[Rutherford-kísérlet|Rutherford-féle atommodellben]] a negatív töltésű [[elektron]]ok a pozitívan töltött [[atommag]] körül körpályán keringenek. A klasszikus fizika törvényei szerint a [[centripetális erő]]t a pozitív és negatív [[elektromos töltés|töltés]] közötti vonzó erő, a [[Coulomb-törvény|Coulomb-erő]] szolgáltatja.
A Bohr-féle atommodell posztulátumai ezen túlmenően:<ref>Erostyák J., Kürti J., Raics P., Sükösd Cs.: Fizika III. Fénytan. Relativitáselmélet. Atomhéjfizika. Atommagfizika. Részecskefizika. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006 ISBN: 963 19 5806 X</ref>
 
*Az elektronok csak bizonyos megengedett sugarú körpályákon keringhetnek. Ezeken a pályákon az elektronok nem sugároznak, energiájuk állandó, ezért a pályák állandósult, ún. stacionárius pályák.
:::<math>\frac{kq_e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}</math>
*A stacionárius pályák sugarát az elektron [[perdület|pályaperdületének (impulzusmomentumának)]] a kvantálási szabálya határozza meg. Eszerint az atommag körül <math>r</math> sugarú pályán <math>v</math> sebességgel keringő <math>m_e</math> tömegű elektron <math>L</math> impulzusmomentuma a legkisebb <math>\hbar</math> perdület egész számú többszöröse kell legyen:
::ahol <math>k = 1 / {4\pi\epsilon_0}</math>, és <math>q_e</math> az elemi töltés.
:<math>L =m_e \cdot r \cdot v = n \cdot \frac{h}{{2\pi }} = n \cdot \hbar</math>,
 
:ahol <math>n=1,2,3...</math> kvantumszám, <math>h</math> a [[Planck-állandó|Planck-állandó (hatáskvantum)]], <math>\hbar=\frac{h}{2\pi} </math> pedig a redukált Planck-állandó.
A kvantum-posztulátum a következő: a pálya hossza meg kell hogy egyezzen az elektron [[Louis de Broglie|de Broglie]]-féle hullámhosszának egész számú többszörösével:
*A stacionárius állapotok között átmenetek jöhetnek létre. Ekkor az elektron egyik stacionárius pályáról egy másikra kerül, miközben a két pálya közötti energiakülönbségnek megfelelő energiájú fotont az atom kibocsátja, vagy elnyeli. Az atom által emittált, vagy abszorbeált foton <math>f</math> frekvenciáját az energiafeltétel határozza meg:
:::<math>2 \pi r = n \lambda</math>
:<math>\Delta{E} = E_2-E_1 = h \cdot f</math>.
 
== A hidrogén energiaszintjei==
A két egyenletből kifejezzük a sugarat:
A Bohr-modell az atom energiaszintjeire jó eredményeket csak az egy elektronnal rendelkező rendszerek esetében ad, ilyenek a [[hidrogén]] vagy az ionizált [[hélium]].<ref>[https://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0033_SCORM_GEFIT6102/sco_11_02.htm Kovács E., Paripás B.: Fizika II. 2011 Digitális Tankönyvtár]</ref>
 
A modell abból indul ki, hogy az <math>m_e</math> tömegű, <math>e</math> elemi töltésű elektront <math>r</math> sugarú körpályán <math>v</math> sebességgel mozgató [[centripetális gyorsulás|centripetális erő]] egyenlő a <math>Z</math> számú proton és az egy elektron közötti Coulomb-erővel:
:::<math>r_n=\left(\frac{\varepsilon_0\,h^2}{\pi\,Z\,m_e\,q_e^2}\right)\cdot n^2</math>
 
:<math>\frac{m_e v^2}{r}=k\cdot \frac{Z\cdot e^2}{r^2}</math>
Innen az első energiaszint sugara r=0.0529&nbsp;nm, ez a klasszikus [[Bohr-sugár]]. Az elektron energiája ezek szerint:
:ahol <math>k</math> a [[Coulomb-törvény|Coulomb-állandó]], és <math>k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}</math>, ahol <math>\epsilon_0</math> a [[permittivitás|vákuum permittivitása]].
 
A második posztulátum szerint pedig az elektron mozgásához tartozó impulzusmomentum:
:::<math>E = E_{kin} + E_{pot}=\frac{1}{2}m_e v^2 -\frac{k q_e^2}{r}</math>
:::<math>Em_e =\cdot -2r \pi^2cdot k^2v \left(= \frac{m_e q_e^4}{h^2}n \right)cdot \frac{1}{n^2}hbar</math>
:::<math>E = \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2}</math>
 
A két egyenletből kifejezhető az <math>n</math> kvantumszámhoz tartozó sugár és sebesség:
Ha behelyettesítjük az állandók értékeit:
:<math>r_n=\frac{4\pi\epsilon_0\cdot\hbar^2}{m_e\cdot Z\cdot e^2} \cdot n^2=\frac{a_0}{Z}\cdot n^2</math>
:<math>v_n=\frac{Z\cdot e^2}{4\pi\epsilon_0\cdot\hbar^2}\cdot\frac{1}{n}</math>.
 
Az <math>a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\cdot\hbar^2}{m_e\cdot e^2}</math> az <math>n=1</math> kvantumszámhoz tartozó legkisebb energiájú körpálya sugara, az ún. [[Bohr-sugár]]. Értéke: <math>a_0=52,9177 \,\mbox{pm}</math>.
:::{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math>E_n = (-13.6 \ \mathrm{eV}) \frac {1}{n^2} \,</math>
|}
 
A nyugvónak tekinthető atommag körül keringő elektron teljes energiája az elektrosztatikus vonzáshoz tartozó [[potenciális energia]] és a [[mozgási energia|mozgási (kinetikai) energia]] összege:
Ezek szerint a hidrogén legalacsonyabb energiaszintje -13,6 [[eV]], a második -3,4 eV, a harmadik -1,5 eV és így tovább. Tehát, egy alapállapotban lévő hidrogénatom ionizációs energiája 13,6 eV.
 
:<math>E = E_{pot} + E_{kin}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{Ze^2}{r_n}+\frac{1}{2}m_e {v_n}^2 </math>
==A Rydberg-formula==
A sebesség fenti kifejezését behelyettesítve belátható, hogy a potenciális energia abszolút értéke kétszer annyi, mint a mozgási energia:
A Bohr-posztulátumok szerint egy elektron kibocsát egy [[foton]]t, ha egy magasabb energiaszintről egy alacsonyabbra ugrik:
::<math>E=E_i-E_fE_{kin}=\frac{m_e e^41}{82}m_e h{v_n}^2 =\epsilon_frac{01}^{2} \left(cdot \frac{1}{n_{f4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{Ze^2} - {r_n}=\frac{1}{n_{i}^2} \right)cdot\left| E_{pot} \,right|</math>
:ahol <math>n_f</math> jelöli a végső energiaszintet, a <math>n_i</math> pedig a kezdetit.
 
A teljes energia tehát negatív és fordítottan arányos a pálya sugarával:
A foton energiája a következőképpen számolható:
::<math>E =-\frac{hc1}{4\lambdapi\epsilon_0}\cdot \,frac{Ze^2}{2r_n}</math>
 
A maghoz közelebbi pályákhoz tartozó energia negatívabb. Ha az elektron energiája nő, akkor távolodik a magtól.
ebből a [[hullámhossz]] reciproka a hullámszám kifejezhető:
A pálya sugarát behelyettesítve, az <math>n</math> kvantumszámhoz tartozó állapotban a teljes energia:
::<math>\frac{1}{\lambda}=\frac{m_e e^4}{8 c h^3 \epsilon_{0}^2} \left( \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right) \,</math>
 
:<math>E_n = -\frac{m_e \cdot Z^2 e^4}{2 \hbar ^2(4\pi \epsilon_{0})^2} \cdot \frac{1}{n^2}</math>, ahol <math>n=1,2,3,...</math>
A fenti [[Rydberg-formula]] már a XIX. században ismert volt, kísérleti alapon jutottak el hozzá. A Bohr-modell megadta az elméleti alapjait, és a Rydberg-állandóra is jó értéket adott.
==Hidrogén==
A [[Hidrogén|hidrogénatom]] az előforduló atomok közül a legkönnyebb ([[atomtömeg]]e 1,008) és a legegyszerűbb. Egy pozitív <math>+e</math> töltésű magból, protonból, és egy negatív <math>- e</math> töltésű elektronból áll, amelynek mozgását a [[Schrödinger-egyenlet]] írja le, ha <math>V</math> [[Elektromos potenciál|potenciál]] helyére a vonzó <math>\frac{{e^' }}{r}</math> elektrosztatikus potenciált helyettesítjük (ahol <math>r</math> a proton és az elektron távolsága).
 
Az elektronpályákhoz tartozó diszkrét energiaértékek tehát egy sorozatot alkotnak, és az elemek <math>-\frac{1}{n^2}</math>-el arányosak.
A hidrogénatom sajátállapotait vagy pályáit 5 kvantumszámmal jellemezhetjük:
 
A fizikai állandók értékeit behelyettesítve:
1. A főkvantumszám (jele gyakran: <math>n</math>). Az elektron energiája és az atommagtól mért távolsága egyedül a főkvantumszámtól függ. A lehetséges energiaállapotok:
:::{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math>E_n = (-13.6 \ \mathrm{eV}) \frac {1}{n^2} \,</math>
|}
 
Ezek szerint a hidrogén legalacsonyabb energiaszintje -13,6 [[elektronvolt|eV]], a második -3,4 eV, a harmadik -1,5 eV és így tovább. Tehát, az alapállapotban lévő hidrogénatom [[ionizációs energia|ionizációs energiája]] 13,6 eV.
<math> E = - \frac{{2\pi ^2 \mu _e e^4 }}{{h^2 }} \cdot \frac{1}{{n^2 }} = h \cdot c \cdot R_H \cdot \frac{1}{{n^2 }}</math>
==A Rydberg-formula származtatása a Bohr-modell alapján==
[[Fájl:Bohr_atom_animation_2.gif|bélyegkép|200px|jobbra|Bohr-féle atommodell és a foton elnyelése és kibocsátása]]
A [[Johannes Rydberg]] svéd fizikus által 1888-ban megadott [[Rydberg-formula]] kísérleti megfigyelésekből származott. A formula a Bohr-modellből levezethető, és a Rydberg-állandóra is jó értéket ad.
 
A Bohr-modell szerint, ha az elektron egy magasabb energiaszintről egy alacsonyabbra kerül, az atom a két energiaszint közötti energiakülönbségnek megfelelő energiájú [[foton]]t bocsát ki. Az energiaszinteket leíró fenti összefüggés alapján a különbség:
ahol <math>n = 1,2,3,...;</math> és <math>\mu _e = \frac{{m_e M}}{{m_e + M}}</math>
:<math>E=E_i-E_k=\frac{m_e Z^2 e^4}{2 \hbar^2 (4\pi \epsilon_{0})^2} \left( \frac{1}{n_{k}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right) \,</math>
:ahol <math>i</math> jelöli a magasabb energiaszintet, <math>k</math> pedig az alacsonyabbat.
 
A fotonhipotézis alapján a foton energiája:
ahol <math>R_H</math> a Rydberg-állandó (<math>R_H = 109677,58\frac{1}{{cm}}</math>).
:<math>E=h\cdot f=h \cdot\frac{c}{\lambda} \,</math>,
ahol <math>f</math> a foton frekvenciája, <math>c</math> és <math>\lambda</math> a fény sebessége és hullámhossza.
 
Tehát:
A teljes energia negatív, mert az elektron kötött állapotban van, azaz energiája kisebb mintha szabadon mozoghatna. Az energiaállapotokhoz tartozó átlagos <math>r</math> sugarak:
:<math>\frac{m_e Z^2 e^4}{2 \hbar^2 (4\pi \epsilon_{0})^2} \left( \frac{1}{n_{k}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right)=h \cdot\frac{c}{\lambda} </math>.
 
Miközben az elektron az <math>n_i</math> kvantumszámú energiaszintről az <math>n_k</math> szintre kerül az atom egy <math>\frac{1}{\lambda}</math> [[hullámszám]]ú fotont bocsát ki:
<math>r = \frac{{h^2 n^2 }}{{4\pi ^2 me^2 }} = \frac{{\hbar ^2 }}{{me^2 }} \cdot n^2</math>
:<math>\frac{1}{\lambda}=\frac{m_e Z^2 e^4}{2 \hbar^2 (4\pi \epsilon_{0})^2ch }\left( \frac{1}{n_{k}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right) </math>.
 
Ez az ún. [[Rydberg-formula]], amelyben az arányossági tényező a [[Rydberg-állandó]]:
A legbelső Bohr-féle pálya sugara ezek alapján <math>r = 0,529172 \cdot 10^{ - 8} cm</math>.
<math>R=\frac{m_e Z^2 e^4}{2 \hbar^2 (4\pi \epsilon_{0})^2ch }</math>.
 
2. A mellékkvantumszám (jele: <math>l</math>)(az impulzusmomentum kvantumszáma) határozza meg a keringő elektron impulzusmomentumát. Az [[impulzusmomentum]] négyzetére a következő összefüggés érvényes:
 
<math>J^2 = \hbar ^2 l \cdot (l + 1)</math>
 
Minden energiaállapothoz különböző impulzusmomentum-értékek tartozhatnak, de úgy, hogy <math>l</math> mindig kisebb, mint <math>n</math>. Az <math>n=1</math> alapállapothoz tehát csak <math>l=0</math> impulzusmomentum tartozhat.
 
3. A mágneses kvantumszám a teljes impulzusmomentumnak egy mágneses tér által kijelölt irányra vonatkozó összefüggését adja meg. Az <math>n</math> főkvantumszám és az <math>l</math> mellékkvantumszám által meghatározott állapotokban a mágneses kvantumszám a következő értékeket veheti fel: <math>m = 0, \pm 1, \pm 2,..., \pm l</math>. Az <math>m</math> mágneses kvantumszám abszolútértékének kisebbnek vagy egyenlőnek kell lennie a mellékkvantumszám abszolútértékével.
 
4. Az <math>s</math> spinkvantumszám, amely az elektron spinjét adja meg mindig <math>\frac{1}{2}</math>.
 
5. Egy kitüntetett irányban az <math>m</math> spinvetület kvantumszáma <math> + \frac{1}{2}</math> vagy - <math> \frac{1}{2}</math> lehet.
 
Az atomban lévő elektron állapotát ezekkel a kvantumszámokkal jellemezzük. Az impulzusmomentum kvantumszámának különböző értékeit betűkkel jelöljük. <math>s</math>-sel jelöljük az <math>l=0</math>, <math>p</math>-vel az <math>l=1</math>, <math>d</math>-vel az <math>l=2</math>, <math>f, g, h</math>-val az <math>l=3, 4, 5</math> értékeket stb. A 2,<math>p</math>,1 állapot tehát azt jelenti, hogy az elektron hullámfüggvényét az <math>n=2</math>, <math>l=1</math> és <math>m=1</math> kvantumszámok határozzák meg. Az azonos főkvantumszámú állapotok energiája megegyezik. Az <math>n</math> főkvantumszámú energiaszintek <math>n^2</math>-szeresen elfajultak.
 
==Források==
{{források}}
== További információk ==
* Edwin F. Taylor - John A. Wheeler: Téridőfizika. Typotex Kiadó, 2006. {{ISBN|963-9548-86-3}}
*[http://nagysandor.eu/AsimovTeka/Harrison/BohrModel.html Magyarított Flash szimuláció a hidrogén Bohr-modelljéről.] Szerző: David M. Harrison
 
== Kapcsolódó szócikkek ==
* [[Niels Bohr]]
 
{{DEFAULTSORT:Bohrfeleatommodell}}
[[Kategória:Szervetlen kémia]]
[[Kategória:Héjfizika]]
[[Kategória:Elavult tudományos elméletek]]
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Bohr-féle_atommodell”