Négyzetek különbsége

A matematikában a négyzetek különbsége olyan kifejezés, amelyben egy kifejezés négyzetéből egy másik kifejezés négyzete kerül kivonásra. Minden ilyen kifejezés a következő elemi algebrai azonosság alapján szorzattá alakítható:

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.

Bizonyítás

Algebrai

Az azonosság bizonyítása rendkívül egyszerű. A zárójel felbontása után a következőt kapjuk:

$(a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}$.

A szorzás kommutativitása miatt a középső tagok kiesnek:

$ba-ab=0$,

és marad az, hogy

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$.

Ezen azonosság az egyik leggyakrabban használt a matematikában. Például egyszerűen bizonyítható segítségével a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség két változó esetén.

A bizonyításból látható, hogy az azonosság bármilyen kommutatív gyűrűben igaz. Ennek megfordítása is igaz, ha egy gyűrű minden elemére igaz az azonosság, akkor a gyűrű kommutatív. Ennek bizonyítása az, hogyha minden a és b elemre fennáll, hogy

$(a-b)(a+b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}$,

akkor az csak úgy lehetséges, ha

$ba-ab=0$,

amely alapján a gyűrű kommutatív.

Geometriai

A négyzetek különbsége geometriailag is illusztrálható két síkbeli négyzet területével. A képen a sötét rész szimbolizálja a két négyzet területének különbségét (azaz $a^{2}-b^{2}$). Ez a terület azonban kifejezhető két téglalap területeinek összegeként is, amelyből következik, hogy $a^{2}-b^{2}=a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(a+b)$.

Egy másik geometriai bizonyítás a következő: az alsó ábra első képen látható állapottal kezdünk, egy nagyobb négyzet, amelyből egy kisebb négyzet ki lett vágva. A nagy négyzet oldalhossza a, a kivágott négyzet oldalhossza b. A sötét rész területe $a^{2}-b^{2}$. Egy vágás felbonthatjuk két téglalapra az ábrát, ahogy a második képen látható. A nagyobb rész szélessége a, magassága a-b. A kisebb rész szélessége a-b, magassága b. A kisebb területet forgatás után a nagyobb terület oldalához illeszthetjük. Az utolsó képen látható ez az elrendezés, amelyben egy két terület együtt egy téglalapot alkot. Ezen téglalap területe $(a+b)(a-b)$. Mivel ezen téglalap az eredeti állapot átrendezésével keletkezett, a két területnek ugyanannyinak kell lennie. Tehát $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$.

Alkalmazás

Polinomok szorzattá alakítás és egyszerűsítés

Az azonosságot nagyon gyakran lehet polinomok szorzattá alakításához használni, például a $x^{4}-1$ kifejezés a következőképpen bontható kifejezések szorzatára:

$x^{4}-1=(x^{2})^{2}-1^{2}=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x-1)(x+1)$.

A némileg bonyolultabb $x^{2}-y^{2}+x-y$ esetében is hasonlóan járhatunk el:

$x^{2}-y^{2}+x-y=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)$.

Továbbá kifejezések egyszerűsítésére is remekül alkalmazható az azonosság:

$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab$.

Négyzetek összege komplex számokkal

A négyzetek különbségére vonatkozó azonosságot felhasználhatjuk négyzetek összegének szorzattá alakításához komplex számok segítségével.

Például, a $z^{2}+4$ szorzattá alakítását a következőképpen végezhetjük el:

$z^{2}+4$

$=z^{2}-i^{2}\cdot 4$ (mivel $i^{2}=-1$)

$=z^{2}-(2i)^{2}$

$=(z+2i)(z-2i)$

Nevező gyöktelenítése

Az azonosság segítségével az irracionális nevezőket átalakíthatjuk racionálissá, amellyel megkönnyíthetjük a további algebrai átalakításokat.

Például, ha a ${\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}$ tört nevezőjét szeretnénk gyökteleníteni, akkor a következőképpen járhatunk el:

${\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}$

$={\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}\times {\dfrac {{\sqrt {3}}-4}{{\sqrt {3}}-4}}$

$={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{({\sqrt {3}}+4)({\sqrt {3}}-4)}}$

$={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{{\sqrt {3}}^{2}-4^{2}}}$

$={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{3-16}}$

$=-{\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{13}}$.

Fejszámolás

A fejszámolás is meggyorsítható, ha ismerjük az azonosságot. Ha két számot szeretnék összeszorozni, amelyeknek átlaga könnyen négyzetre emelhető, akkor érdemes alkalmazni.

Például, a $27\cdot 33$ esetében a következőt tehetjük:

$27\cdot 33=(30-3)(30+3)=30^{2}-3^{2}=900-9=891$.

Egymást követő négyzetszámok különbsége

${\begin{array}{lcl}(n+1)^{2}-n^{2}&=&((n+1)+n)((n+1)-n)\\&=&2n+1\end{array}}$

Azaz két egymást követő négyzetszám különbsége mindig páratlan. Hasonlóan számítható két tetszőleges négyzetszám különbsége is:

${\begin{array}{lcl}(n+k)^{2}-n^{2}&=&((n+k)+n)((n+k)-n)\\&=&k(2n+k)\end{array}}$

Ebből következik, hogy két páros négyzetszám különbsége mindig osztható néggyel, és két páratlan négyzetszám különbsége mindig 8 többszöröse.

Általánosítás

Két n-dik hatvány különbsége

Az azonosság tetszőleges pozitív egész kitevőre általánosítható. Ha a és b egy kommutatív gyűrű elemei, akkor

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\dots +ab^{n-2}+b^{n-1})=(a-b)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Difference of two squares című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.