„Parciális differenciálegyenlet” változatai közötti eltérés

[[Fájl:Heat.gif|bélyegkép|A két-dimenziós hőegyenlet megoldásának szemléltetése. A hőmérséklet van a harmadik dimenzió függvényében ábrázolva.]]

A [[matematika|matematikában,]] a '''parciális differenciálegyenlet''' (röviden PDE) egy olyan [[differenciálegyenlet]], amely ismeretlen többváltozós [[függvény (matematika)|függvényeket]] és ezek [[parciális deriváltjaitderivált]]jait tartalmazza. A PDE-ek olyan feladatokat fogalmaznak meg, amelyek többváltozós függvényekkel foglalkoznak, és ezeket vagy kézzel oldják meg vagy pedig készítenek egy releváns számítógépes[[számítógép]]es modellt. Egy egyedi eset a [[közönséges differenciálegyenletekdifferenciálegyenlet]]ek (KDE), amely egyváltozós függvényeket és ezek deriváltjait[[derivált]]jait foglalja magába.

A PDE-ek rengeteg jelenség leírására alkalmasak, mint a hang, hő, elektrosztatika, elektrodinamika, áramlástan, rugalmasság vagy kvantummechanika. Ezek a látszólag eltérő fizikai jelenségek megfogalmazhatóak PDE-ek formájában. Ugyanúgy, mint ahogy gyakran a KDE-ek egy-dimenziós dinamikus rendszereket modelleznek, úgy gyakran a PDE-ek több-dimenziós rendszereket modelleznek. A PDE-ek általánosítása a [[sztochasztikus parciális differenciálegyenletekbendifferenciálegyenlet]]ekben nyilvánul meg.

A parciális differenciálegyenletek,PDE-k olyan egyenletek[[egyenlet]]ek, amelyek valamilyen [[folytonosság|folytonos]] változók[[változó]]k fejlődését írják le (térben, időben, stb.). Egy merev test helyzetét megadhatjuk hat paraméterrel<ref>{{CitLib|aut=Lorenzo Sciavicco|aut2=Bruno Siciliano|tit=Modelling and Control of Robot Manipulators|ann=2001-02-19|isbn=9781852332211|url=https://books.google.com/books?id=v9PLbcYd9aUC&pg=PA32|accd=2018-06-24}}</ref>, de egy folyadék viselkedését jó néhány változó folytonos eloszlása adja meg, mint pl. a hőmérséklet, nyomás és így tovább. A merev test dinamikája egy véges dimenziójú konfigurációs térben játszódik le, egy folyadék dinamikája azonban meglehet, hogy akár egy végtelen dimenziójú konfigurációs térben kaphat helyet. Általában ez különbözteti meg a parciális differenciálegyenleteketPDE-ket a közönséges differenciálegyenletektől (KDE)-ktől, de itt most, a közérthetőség kedvéért, [[lineáris függvény|lineáris]] problémákról fogunk nagyrészt beszélni. Általában az [[akusztika]], [[áramlástan|folyadékdinamika]], [[elektrodinamika]] és [[hővezetés|hőcsere]] területén van jelentős szerepe a differenciálegyenleteknek.

Egy parciális differenciálegyenletPDE az <math>u(x_1,...,x_n)</math> függvényen a következő alakot ölti:

Ha ''f'' [[lineáris függvényefüggvény]]e ''u''-nak és a deriváltjainak[[derivált]]jainak, akkor a PDE-t lineárisnak hívjuk. Általános példák közé tartozik a [[hőegyenlet]], a [[hullámegyenlet]], a [[Laplace-egyenlet]], a [[Helmholtz-egyenlet]], a Klein[[Klein–Gordon-Gordon egyenlet]] vagy a [[Poisson-egyenlet]].

Egy viszonylag egyszerű PDE:

Ez az összefüggés maga után vonja, hogy az ''u''(''x'', ''y'') függvény nem függ ''x''-től. Azonban, az egyenlet nem ad információt arról, hogy ''u'' hogyan függ ''y''-tól. Tehát az általános megoldása ennek az egyenletnek

alakú, ahol ''f'' egy véletlenszerű függvénye ''y''-nak. A hasonszőrű [[közönséges differenciálegyenlet]]

ahol ''c'' egy konstans, amely bármely értéket felvehet. Ez a két példa mutatja, hogy egy KDE megoldása véletlenszerű konstansokat feltételez, míg egy PDE megoldása véletlenszerű függvényeket. Egy PDE megoldása általában nem sajátos, ahhoz, hogy valamilyen sajátos formát öltsön mellékinformációkra van szükség a tartomány pereméről, ahol a megoldást definiáltuk. Példának okáért, a fenti egyszerű példában, az ''f''(''y'') függvény meghatározható, amennyiben ''u'' értéke pontosítva van az ''x''=0 vonalon.

Habár a létezésimegoldás létezésének és unicitásiegyértelműségének (unicitásának) problémája a KDE-nek nagyon kielégítő magyarázatra lelt a Picard[[Picard–Lindelöf-Lindelöf elmélettétel]] szerint, azonban a PDE esetében szó sincs ilyesmiről. A Cauchy[[Cauchy–Kovalevszkaja-Kowalewski elmélettétel]] kimondja, hogy a Cauchy -problémák egyedi megoldásokhoz vezetnek bizonyos körülmények között, a legfontosabb ezek közül azt állítja, hogy a Cauchy -információk és a PDE-k együtthatói valós analitikai függvények. Talán úgy tűnhet, hogy ez az eredmény megalapozná a megoldások létezését és unicitását, de vannak példák olyan lineáris PDE-ekre amelyek együtthatóinak deriváltjai mindenféle rendűek (amelyek így nem utolsó sorban nem analitikusak) de nincs megoldásuk egyáltalán: lásd Lewy (1957). Még ha létezik is egy PDE megoldása és egyedi is, lehet, hogy sosem fog a kívánatos tulajdonságokkal rendelkezni. A matematikai tanulmányozása ezen kérdéseknek általában egy erősebb kontextusába tartozik a “gyenge„gyenge megoldásoknak”.

Egy példája a patológiás viselkedésnek az a következő (''n''-től függő) Cauchy -problémák sora [[Laplace egyenletre-egyenlet]]re vonatkoztatva

ahol ''n'' egy egész szám. Az u deriváltja y szerint ebgyenletesenegyenletesen közelíti meg 0-t ''x''-ben ''n'' növekedésével, de a megoldás

Ez a megoldás végtelenhez közelít ha nx nem egy egész többszöröse π-nek, bármely nem zéró y-ra. A Cauchy-probléma a [[Laplace-egyenletreegyenlet]]re vonatkoztatva ''rosszul feltett problémának'' minősül, hiszen a megoldása nem folytonosan függ a feladat adataitól. Ilyen rosszul feltett problémák nem sok esetben hasznosak fizikai szempontból.

A parciális differenciál egyenletekben, általábanPDE-kben a parciális deriválást indexelésáltalában indexes formájában szemléltetjük.

Néhány lineáris, másodrendű parciális differenciálegyenlet parabolikus, hiperbolikus vagy elliptikus kategóriákba sorolható. Mások, mint az Euler[[Euler–Tricomi-Tricomi egyenlőség]] különböző részekből áll össze. A besorolás arra szolgál, hogy útmutatást adjon a kezdeti- és peremfeltételek megközelítésével és a megoldás simaságával kapcsolatban.

Ilyen típusú egyenletek jelennek meg a karakterisztikus felületek építésében a hiperbolikus PDE-k, a [[variációszámítás]], néhány geometriai[[geometria]]i probléma, és szimpla gázdinamikai modellek esetében, amelyek megoldásai a karakterisztikák metódusát hívja segítségül. Ha egy ERPDE megoldáscsaládja meghatározható, akkor egyéb mellékes megoldások kaphatóak meg a különböző egyedi esetekre kiterjesztve ezt. Egy kapcsolt műveletben, általános megoldások fedezhetőek fel KDE családok integrálása révén.

A karakterisztikus felületeti a hullámfüggvénynek[[hullámfüggvény]]nek nem mások, mint szintfelületei a következő egyenlet megoldásainak:

Ezek a megoldások olyan gömböknek[[gömb]]öknek felelnek meg, amelyek sugara ''c'' sebességgel csökken vagy nő. Ezek a fénykúpok a tér-idő vásznán.

A kezdetiérték feladat az egyenlőség alapján egy ''S'' szintfelületben nyilvánul meg ahol ''u'' = 0, ''t'' = 0. A megoldást megkapjuk, ha az összes ''S''-en koncentrikus gömbhéjat számításba vesszük, amelyek sugara ''c'' sebességgel nő. Ez a külréteg szükségessé teszi a következőket

Pontosabban, ∂_''x'' helyettesítve X-el, és így tovább a többi változót is (formálisan ezt egy [[Fourier-transzformáció|Fourier-transzformációval]] végezzük el), egy konstans együtthatójú PDE-t egy ugyanolyan rendű polinommá alakít, ahol a legmagasabb rendű tag lesz a legfontosabb a besorolás szempontjából (egy homogén [[polinom]], itt kvadratikus alakban).

Ahogyan kúpszeleteket és kvadratúrákat parabolikus, hiperbolikus vagy elliptikus besorolásokat kaphatnak a '''<math>B^2 - 4AC</math>''' [[diszkrimináns]] viselkedése alapján, úgy a PDE-el is ez történik. Azonban, a diszkrimináns a PDE-ben '''<math>B^2 - AC,</math>'''-ként van megadva, attól az egyszerű konvenciótól fogva, hogy az xy tag általában 2B és nem B; formálisan, a diszkrimináns (a megfelelő kvadratúrának) a <math>(2B)^2 - 4AC = 4(B^2-AC),</math> alakban írható, egy 4-es faktorral csökkentve az egyszerűség kedvéért.

# Egy elsőrendű rendszer ''Lu'' = 0 elliptikus, ha egyetlen felület sem karakterisztikus L-re nézve; az ''u'' értékei ''S''-en és a differenciál egyenletdifferenciálegyenlet mindig ''u'' ''S''-re vett normál deriváltját határozzák meg.

# Egy első rendű rendszer hiperbolikus egy pontban, ha abban a pontban az S felület ξ normállal térszerű. Ez azt jelenti, hogy bármely nem triviális η vektor, amely ortogonális ξ-re nézve, és egy λ skalár által meghatározott <math>Q(\lambda \xi + \eta) = 0</math> egyenlet m valos gyöke (λ₁, λ₂, ..., λ_n) van. Tökéletesen hiperbolikus a rendszer ha ezek a gyökök különbözőek. A mértani értelmezése ennek a feltételnek a kövezkező: a karakterisztikus forma Q(ζ) = 0 egy kúpot[[kúp]]ot határoz meg (a normális kúpot), ζ homogén koordinátákkal. A hiperbolikus esetben, ez a kúp m palástal rendelkezik és a ζ = λξ tengelyek ezekben a palástokban futnak: egyik tengely sem metsz egyetlen palástot sem. De mikor az eredeti helyetből η-el elmozdítjuk őket, a tengelyek mindegyik palástot metszeni fogják. Elliptikus esetben, a normál kúp egyetlen valós palástalpalásttal sem rendelkezik.

Ha egy PDE nem állandó együtthatókkal rendelkezik, megtörténhet, hogy egyik előzőleg tárgyalt kategóriába sem tartozik, hanem ú.n. vegyes típusú. Egyszerű de fontos példaként felhozható az Euler[[Euler–Tricomi-Tricomi egyenlőség]]:

Ez hasonló ahhoz, ha megszeretnénk érteni a jelfeldolgozás területén egy [[szűrő (jelfeldolgozás)|szűrőt]], az impulzus válaszimpulzus–válasz alapján.

1870-től [[Sophus Lie]] elmélete sokkal kielegítőbb alapokra helyezte a PDE-ek elméletét. Kimutatta, hogy az idősebb matematikusok integrál alapú elméletei a [[Lie-csoportokcsoport]]ok bevezésével, egy általános forráshoz köthetőek: a KDE-ekhez, amelyek ugyanazt az infinitezimális transzformációt képviselik, amik nehézsége hasonló az integrálásokéhoz[[integrálás]]okéhoz. Emellett még kiemeli az érintkezéses transzformáció témáját.

Egy általános megközelítése a PDE-ek megoldására a szimmetria tulajdonságait használja a differenciálegyenleteknek, a megoldások folytonos infinitezimális transzformációit a megoldásokra ([[Lie-elmélet]]). A folytonos csoport elmélet, Lie algebra és differenciálgeometria célja, hogy megértsük a lineáris és nem-lineáris PDE-ek struktúráját, annak érdekében, hogy integrálható egyenleteket generáljunk, hogy megtaláljuk a Lax párokat, rekurziós operátorokat, Bäcklund transzformáltakat és végül az exakt analitikus megoldásait a PDE-eknek.

A három, PDE megoldására szolgáló, leggyakrabban használt numerikus módszer a [[Végeselemes módszer|véges-elem módszer]] (FEMVEM), a véges-térfogat módszer (FVM) és a véges-differencia módszere (FDM), ahogyan egyéb más metódsok is, mint a sík-háló mentes módszerek, amelyek arra szolgának, hogy olyan feladatokat oldjanak meg, amelyek esetében az előbbi három módszer nem használ. A FEM egy prominens pozíciót foglal ezek között, különösképpen a kivételesen hatékony magas-rendű változata, a hp-FEM. Más hibrid verziói a FEM és sík-háló mentes módszernek: az általánosított véges-elem módszer (GFEM), kiterjesztett véges-elem módszer (XFEM), spektrális véges-elem módszer (SFEM), sík-háló mentes véges-elem módszer, szakadásos Galerkin[[Galjorkin-módszer|Galjokin-féle véges-elem módszer]] (DGFEM), elem-mentes GalerkinGaljorkin-féle módszer (EFGM), interpoláló elem-mentes GalerkinGaljorkin-féle módszer (IEFGM), stb.

=== VégesVégeselem-elem módszer ===

A véges-elem módszer ( gyakorlati alkalmazása miatt gyakran hívják véges-elem analízisként (FEA)) egy numerikus technika, amely segítségével megközelítő megoldásait kaphatjuk meg a PDE-nek, ahogyan az integrál egyenleteknek is. A megoldás megközelítése vagy a differenciál egyenletdifferenciálegyenlet teljes kiejtésére teszi a hangsúlyt, vagy pedig a PDE átalakítására egy megközelítő KDE rendszerré, amelyeket aztán [[numerikus integrálás|numerikusan integrálunk]] standard eljárások segítségével, mint az [[Euler-módszer|Euler-féle metódus]], [[Runge–Kutta-módszer|Runge-Kutta]], stb.

A véges differencia módszerek olyan numerikus módszerek, amelyek a differenciálegyenletek megoldását közelíti meg, oly módon, hogy a deriváltakat véges differenciaegyenletekkel közelíti.

Hasonló a véges differencia vagy véges-elem módszeréhez, az értékek diszkrét helyeken vannak kiaszámolva egy hálószerű geometrián. A „véges térfogat” a hálón minden csomópontot körülvevő véges kicsi térfogatra vonatkozik. A módszer során a térfogat integrálok azokban a parciális differenciálegyenletekben, amelyek divergencia tagot tartalmaznak átlesznek alakítva felületi integrálokká. Ezek a tagok aztán a kiértékelés során fluxusként értelmezettek minden véges térfogat felületén. Mivel az a [[fluxus]], amely beáramlik egy térfogategységbe és amely kiáramlik egy szomszédosból, ugyanakkora, ezért ezek a metódusok konzervatívak.