„Maradékosztály” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Javítás |
||
1. sor:
{{lektor}}
Legyen az ''m'' egy 1-nél nagyobb [[természetes számok|természetes szám]]. Az [[egész számok]] szétválogathatók aszerint, hogy az ''m''-mel való [[maradékos osztás]] után mennyit adnak maradékul. Ha két egész szám az ''m''-mel maradékosan elosztva ugyanannyit ad maradékul, akkor azt mondjuk, hogy ez a két egész szám egymással [[kongruencia|kongruens]]. A kongruencia egy [[ekvivalenciareláció]], és az általa létrehozott [[ekvivalenciaosztály]]ok az ''m'' szerinti '''maradékosztály'''ok. Minden ''m'' esetében ''m'' darab különböző maradékosztály létezik.
Egy modulo ''
A maradékosztályok [[fogalom|fogalmát]] [[Carl Friedrich Gauss]] vezette be 1801-es ''[[Disquisitiones Arithmeticae|Számelméleti vizsgálódások]]'' című művében.
== Példa ==
Legyen ''m'' = 5.
Ekkor 5 maradékosztály létezik
* a { ..., –20, –15, –10, –5, 0, 5, 10, 15, 20, ... } számhalmaz a 0-maradékosztály, azaz az 5·''i'' vagy 5·''i''+0 alakú számok, ahol ''i'' tetszőleges egész szám;
* a { ..., –19, –14, –9, –4, 1, 6, 11, 16, 21, ... } számhalmaz az 1-maradékosztály, azaz az 5·''i''+1 alakú számok, ahol ''i'' tetszőleges egész szám;
* a { ..., –18, –13, –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, ... } számhalmaza 2-maradékosztály, azaz az 5·''i''+2 alakú számok, ahol ''i'' tetszőleges egész szám;
* a { ..., –17, –12, –7, –2, 3, 8 13, 18, 23, ... } számhalmaz a 3-maradékosztály, azaz az 5·''i''+3 alakú számok, ahol ''i'' tetszőleges egész szám;
* a { ..., –16, –11, –6, –1, 4, 9, 14, 19, 24, ... } számhalmaz a 4-maradékosztály, azaz az 5·''i''+4 alakú számok, ahol ''i'' tetszőleges egész szám.
Általában 0, 1, 2, ..., (''m''-1) mod ''m'' maradékosztályokról beszélhetünk, ahol az egyszerűség kedvéért a 0, 1, 2, ... és ''m''-1 a megnevezésben szereplő reprezentáns elemek.
==Tulajdonságok==
A ''mod m'' maradékosztályok [[gyűrű (matematika)|gyűrűt]] alkotnak: összeadhatók, [[kivonás|kivonhatók]] és [[szorzás|szorozhatók]], de az [[osztás]] nem végezhető el reprezentáns elemekkel. [[Reciprok|Multiplikatív inverze]] ugyanis pontosan a [[redukált maradékosztály]]oknak van. Ezek minden eleme [[relatív prímek|relatív prím]] ''m''-hez. Ha ''m'' [[prímszámok|prím]], akkor az invertálás segítségével az osztás is definiálható; ekkor a maradékosztályok gyűrűje [[test (algebra)|test]].
Maradékosztályokkal úgy számolhatunk, hogy tetszőleges reprezentáns elemükkel számolunk, ugyanis a maradékosztályok elemei egymást helyettesíthetik az [[egyenlet]]ekben.
==Teljes maradékrendszer==
Ha
==Fontosabb tételek==
▲Ha minden egyes ''mod m'' maradékosztályt egy elem reprezentál, akkor ezek a számok teljes maradékrendszert alkotnak.
===
'''Bizonyítás:'''
▲'''Tétel''' - Néhány [[egész számok|egész szám]] teljes maradékrendszert alkot ''mod m'' [[akkor és csak akkor]], ha számuk ''m'', és nincs köztük két egymással kongruens szám.
▲'''Bizonyítás''' - Legyen ''T''<sub>''m''</sub> teljes maradékrendszer ''mod m''. Minden maradékosztályból egy és csak egy elem van ''T''<sub>''m''</sub>-ben, ezért ''T''<sub>''m''</sub> elemszáma ''m''.
Mivel minden maradékosztályból egy elemet választottuk, ezért ''T''<sub>''m''</sub> elemei között nincs két szám, amely egymással kongruens.
23 ⟶ 39 sor:
Tekintsünk most ''m'' darab egész számot, amik között nincsenek [[kongruencia|kongruensek]]. Ezek csupa különböző maradékosztályba tartoznak, és mivel ''m'' darab van belőlük, azért az összes maradékosztály képviselve van.
=== 2. tétel===
'''Bizonyítás:'''
Sorra ellenőrizünk mindent:
Az új rendszer elemszáma ''m''.
Ha ''ar''<sub>''i''</sub>+''b'' és ''ar''<sub>''j''</sub>+''b'' kongruensek ''mod m'', akkor a [[kongruencia]] mindkét oldalából ''b''-t kivonva ''ar''<sub>''i''</sub> és ''ar''<sub>''j''</sub> kongruensek lennének. ''a'' relatív prím ''m''-hez, ezért lehet vele egyszerűsíteni. Kapjuk, hogy ''r''<sub>''i''</sub> és ''r''<sub>''j''</sub> kongruensek. Ez csak úgy lehet, hogy ''i'' = ''j''.
=== 3. tétel===
'''Bizonyítás:'''
A fordított oszthatóság ugyanígy, szerepcserével adódik.
==Források==
* Freud
{{portál|matematika|i |}}
[[Kategória:Számelmélet]]
|