„Dirac-egyenlet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→További információk: nemz. kat. |
|||
16. sor:
::'''x''' és ''t'' a [[tér (fizika)|tér]]- és [[idő]]koordináták.
Az egyenletben megjelenő további tagok a 4x4-es <math>\alpha_k</math> és <math>\beta</math> mátrixok, és
::<math>\alpha_i\alpha_j = -\alpha_j\alpha_i, \,</math>
22. sor:
ahol i és j különböző indexek 1-től 3-ig.
=== Kovariáns alak ===
A szabad Dirac-egyenlet kovariáns alakja
::<math>i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m c \psi = 0, </math>
ahol a kétszer szereplő indexekre ({{math|''μ'' {{=}} 0, 1, 2, 3}}) [[Einstein-féle összegkonvenció|összegzünk]], <math>\partial_\mu=(\frac{1}{c}\partial_\mu,\nabla)</math> a négyesgradiens és <math>\gamma_\mu</math> [[gamma mátrix|gamma mátrixok]] vagy Dirac mátrixok. A gamma mátrixok teljesítik a
::<math>\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2\eta^{\mu\nu}</math>
antikommutációs relációt, ahol <math>\eta^{\mu\nu}</math> a [[Minkowski-tér|Minkowski-metrika]] és a <math>\gamma_\mu</math> mátrixok [[Clifford-algebra|Clifford-algebrát]] alkotnak ([[Dirac-algebra]]). A <math>\gamma_\mu</math> operátorokat <math>4\times4</math> mátrixokkal reprezentáljuk. Explicit alakjuk standard ábrázolásban (Dirac ábrázolás)
:<math>\begin{align}
\gamma^0 &= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}\quad&
\gamma^1 &= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \\
\gamma^2 &= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\quad&
\gamma^3 &= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\end{align}</math>
melyek a [[Pauli-mátrixok]] és a 2×2 [[egységmátrix]] <math>I_2</math> segítségével a következő alakban írhatók bevezetve a <math>\gamma^5:= i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3</math> mátrixot
:<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix}.</math>
=== Valószínűségi áram megmaradása ===
Bevezetve a konjugált spinort
:<math>\bar{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0</math>,
ahol {{math|''ψ''<sup>†</sup>}} a hullámfüggvény adjungáltja, valamint felhasználva, hogy
:<math>(\gamma^\mu)^\dagger\gamma^0 = \gamma^0\gamma^\mu \,</math>,
a Dirac-egyenlet konjugálásával valamint jobbról <math>\gamma_0</math>-lal való beszorzásával előáll a konjugált Dirac-egyenlet
:<math>\bar{\psi}(-i\gamma^\mu\overset{\leftarrow}{\partial_\mu} - m) = 0 \,</math>.
A Dirac-egyenletet balról <math>\bar{\psi}</math>-sal, a konjugált Dirac-egyenletet jobbról <math>\psi</math>-vel beszorozva, majd a két egyenletet
összeadva kapjuk, hogy
:<math>\partial_\mu \left( \bar{\psi}\gamma^\mu\psi \right) = 0,</math>
amely a valószínűségi áramsűrűség megmaradását fejezi ki. A valószínűségi áramsűrűség
:<math>j_\mu=c\bar{\psi}\gamma^\mu\psi</math>,
melynek nulladik komponense a valószínűségi sűrűség
:<math>j^0 = \bar{\psi}\gamma^0\psi = \psi^\dagger\psi.</math>
== További információk ==
| |||