Wikipédia

„Norma (matematika)” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
a Elavult matematikai szintaxis cseréje mw:Extension:Math/Roadmap alapján
korrektúra
 
1. sor:
A '''norma''' olyan [[vektortér]]en vagy [[függvénytér]]en értelmezett <math>d</math> [[leképezés]], ami a [[nullvektor]] kivételével a tér minden [[vektor]]ához egy pozitív számot rendel. Érvényesek rá a következő, az abszolút értékhez hasonló tulajdonságok:
* <math>d(\mathbf x) \geq 0</math>
* d('''x''')>=0
* <math>d('''\mathbf x''') = 0</math> akkor és csak akkor, ha '''<math>\mathbf x''' =''' \mathbf 0'''</math>
* <math>d(\mathbf x + \mathbf y) \leq d(\mathbf x) + d(\mathbf y)</math>
* d('''x'''+'''y''')≤d('''x''')+d('''y''')
* <math>d(\lambda \mathbf x) = \left\vert \lambda \right\vert d(\mathbf x)</math>
* d(''λ'''''x''')=|''λ''|d('''x''')
 
<math>d('''\mathbf x''')</math>-et az '''<math>\mathbf x'''</math> normájának neveziknevezzük.
 
A normát [[valós számok|valós]] vagy [[komplex számok|komplex]] vektor- vagy függvénytéren vezetik be. A normával ellátott tereket normált tereknek hívják. A fogalom bevezetésének motivációja a „hosszúság” fogalmának kezelése absztrakt terekben.
23. sor:
* A 2-norma: <math>\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}</math>
 
Skalárszorzatból származik. Ez azt jelenti, hogy van egy <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> [[skalárszorzat]], amivel teljesül, hogy <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>, valamint teljesül rá a [[Pitagorasz-tétel]], a paralelogrammaszabály, és komplex terekben a polarizációs egyenlőség.
[[skalárszorzat]], amivel teljesül, hogy: <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>.
Valamint teljesül rá a [[Pitagorasz-tétel]], a paralelogrammaszabály, és komplex terekben a polarizációs egyenlőség.
 
A többi normához nincs ilyen skalárszorzat: a paralelogrammaszabállyal egyetlen jelölt adódik. A skalárszorzat tulajdonságait ellenőrizve kiderül, hogy nem teljesíti ezeket a tulajdonságokat.
34 ⟶ 32 sor:
 
Képek az egységgömbökről két dimenzióban:
<gallery mode="nolines" widths="200" heights="200" class="center" caption="Egységgömbök két dimenzióban">
{| align="center" cellpadding="6" cellspacing="0"
| align="center" | ''p'' = 1<br>[[KépFájl:Onenorm unityball.svg|alt=Az 1-es norma egységgömbje]]: egy csúcsára állított négyzet|''p'' = 1
| align="center" | ''p'' = 2<br>[[KépFájl:Twonorm unityball.svg|alt=A 2-es norma egységgömbje]]: egy kör|''p'' = 2
| align="center" | ''p'' = ∞<br>[[KépFájl:Infnorm unityball.svg|alt=A végtelen- norma egységgömbje]]: egy oldalára állított négyzet|''p'' = ∞
</gallery>
|}
 
Véges dimenzióban minden norma ekvivalens, azaz ugyanazok a sorozatok konvergensek minden normában.
50 ⟶ 48 sor:
Az indukált [[Mátrix (matematika)|mátrixnormákra]] teljesül:
 
:* <math>\|lVert A \cdot B \|rVert \leq \|lVert A \|rVert \|cdot \lVert B \|rVert</math>
* <math>\lVert A \mathbf x \rVert_V \leq \lVert A \rVert_M \cdot \lVert \mathbf x \rVert_V</math>
 
és :<math>\|Ax\|_V \leq \|A\|_M\cdot \|x\|_V</math>
 
Többnyire itt is az 1-es, a 2-es és a végtelen normát használják.
60 ⟶ 57 sor:
<math>\left\| A \right\|_1 = \max_j{\sum_{i=1}^m \left| a_{ij} \right|}</math>
 
*-A végtelen norma a sorösszegnormát, más néven a sornormát indukálja:
 
<math>\left\| A \right\|_\infty = \max_i{\sum_{j=1}^n \left| a_{ij} \right|}</math>
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Norma_(matematika)”