Wikipédia

„Brown-mozgás” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
a Kurzív tartalmú zárójelek korr., egyéb apróság ld.: WP:BÜ
1. sor:
[[Kép:Brownian motion large.gif|thumb|Egy nagyobb részecske Brown-mozgásának számítógépes szimulációja. A különböző sebességgel mozgó kis részecskék (gázmolekulák) ütközése rendezetlen, véletlenszerű mozgást eredményez|174x174px]]
A '''Brown-mozgás''' a [[gáz]]okban és [[folyadék]]okban lebegő (szuszpendált) részecskék szüntelenül zajló, véletlenszerű mozgása, amelyet Robert Brown angol [[botanika|botanikus]] fedezett fel vízben elkevert [[virágpor]]szemcsék vizsgálata során. A Brown-mozgás az anyag atomos szerkezetének bizonyítékául szolgált.
 
A [[káoszelmélet]]ben szereplő '''''globális keveredés''''' egyik jó példája, mely szerint tipikus kezdőfeltételekkel indítva hosszú idő alatt az összes lehetséges állapothoz közel kerül a rendszer.
 
== Elméleti háttér ==
A szuszpendált részecskék mozgásuk során állandó ütközéseket szenvednek el, viselkedésük legpontosabban a Maxwell-féle sebesség eloszlási függvény szerint értelmezhető. A Brown-mozgás trajektóriái általánosságban véletlenszerű, folyamatos és rendszertelen pályavonalat írnak le. Legyen α az ütközési állandó, ''m'' a részecskék tömege, ''a'' a részecske sugár és η a dinamikus viszkozitás, ekkor a mozgási egyenlet:
 
<math display="block">mx \frac{dv}{dt}= - \alpha v + F(t) \Longrightarrow</math><math display="block">mx \frac{dv}{dt}= m\left [ \frac{d x(v)}{dt}-v^2 \right ]= \alpha xv + x\, F(t)</math>
13. sor:
Mivel ''F(t)'' véletlenszerűen változik (tekintet nélkül a részecske sebességére vagy annak helyzetére), azt kapjuk, hogy <math display="inline">\langle xF(t) \rangle = \langle x \rangle \langle F(t) \rangle = 0</math>, továbbá <math display="inline">\frac {1}{2}m \langle v \rangle ^2= \frac {1}{2}k T</math>, ahol ''k'' a Boltzmann-állandó. Ha e két egyenletet a fentebb levezetett időátlagolt formulába helyettesítjük be, kapjuk, hogy <math display="inline">m \frac {d \langle xv \rangle }{dt}= kT - \alpha \langle xv \rangle</math>. Tehát írható, hogy : <math display="block"> \frac{1}{2} m \frac{d^2 \langle x \rangle ^2}{dt^2}+ \frac{\alpha}{2}\frac {d \langle x \rangle ^2}{dt}= kT</math>
 
Alkalmazzunk <math display="inline"> \frac {d \langle x \rangle ^2}{dt} = w </math> helyettesítést, ekkor <math display="inline"> \frac{dw}{dt}+ \frac{\alpha}{m} w = \frac {2kT}{m} </math>, továbbá <math display="inline"> \gamma = \alpha / m </math>-t, ilyen módon <math display="inline"> \frac{dw}{dt}+ \gamma w = \frac {2kT}{m} </math>kapunk. Az egyszerűsítés kedvéért legyen <math display="inline"> w = \frac{2kT}{\alpha}+ c\, e^{ - \gamma t}</math>, vagyis a következő összefüggéshez jutunk el:
 
<math display="block"> \frac{dw}{dt}+ \gamma w = - c \gamma e^{- \gamma t}+ \frac {2kT\, \gamma}{\alpha}+ \gamma c e^{- \gamma t}= \frac{2kT}{m}</math>
 
== A Brown-mozgás Einstein szerinti értelmezése ==
Ugyan a jelenség tanulmányozása az 1800-as évek hosszú évtizedeinek történelme volt, [[Albert Einstein|Einstein]] korábban nem ismerte a Brown-mozgást. Más elméletekbe vonta be a jelenség magyarázatát, majd szabatos kifejtését kvantitatíve adta meg. Ez majdnem ugyanarra az időszakra esett, mikor ismert, [[Relativitáselmélet|relativitásról]] szóló publikációját közreadta. Két érvelést is felvázolt, ebből az egyik statisztikus-hőtani oldalról közelíti meg a mozgást.
 
Legyen <math display="inline">\rho = \rho (x, t)</math>az ''x'' tengely mentén, ''t'' időpillanatban mozgó Brown-részecske valószínűségi sűrűségfüggvénye. Ebből a diffúzió egyenlet <math display="inline">\frac{\partial \varrho}{\partial t}= D \Delta \varrho</math>,
24. sor:
melyben ''D'' egy pozitív konstans, az ún. ''diffúziós koefficiens''. Ha a szóban forgó részecskére ''t''=0 időpillanatban érvényes, hogy <math display="inline">\varrho (x, 0)= \delta (x)</math>, akkor a három dimenziós [[Euklideszi geometria|euklideszi]] térben a sűrűségfüggvény szabatos alakja: <math display="block">\varrho (x,t)= \frac {1}{(4 \pi Dt)^{\frac{3}{2}}}e^{- \frac{\mid x\mid ^2}{4Dt}}</math>
 
A levezetés másik aspektusa a ''D'' kapcsolata más fizikai állandókkal, illetve fizikai szerepe a jelenség magyarázatában. Képzeljünk el egy Brown-részecske sokaságból álló [[szuszpenzió]], melyre egy külső ''K'' erő hat (mely lehet [[Gravitáció|gravitációsgravitáció]]s erő is, azonban jellemző, hogy magában a kifejtésben lényegében ''K'' csak virtuális). Egyensúlyban az ''K'' egyensúlyt tart a szuszpenzióban uralkodó [[Ozmózis|ozmotikus]] nyomás által kifejtett erővel <math display="inline">K= kT \centerdot\frac {grad \ \nu}{\nu}</math>, ahol <math display="inline">\nu</math>az adott térfogatban jelenlévő részekék száma, ''T'' a [[termodinamikai hőmérséklet]], ''k'' a [[Boltzmann-állandó]]. Az egyenlet jobb oldala hasonlóképpen származtatható a kinetikus gázelméletből, mintha abban a Brown-részecskéket helyettesítettük volna be. A részecskék úgy mozognak a szuszpenzióban, hogy utóbbinak molekulái súrlódó hatást fejtenek ki a szuszpendált részecskékre. A külső ''K'' erő mindkét részecskének mozgásmennyiséget (sebességkomponenst) ad át, melynek nagysága <math display="inline">\frac {K}{m \beta}</math>, ahol ''m'' a részecskék tömege, <math display="inline">\beta</math> egy frekvenciafüggő állandó. Ennek következtében az egységnyi felületen, adott időintervallumban a ''K'' erő ellenében átjutó részecskék száma: <math display="inline">N=\frac{\nu K}{m \beta}</math>. Ugyanakkor, ha csupán a diffúzió erők fejtenének ki hatást az adott közegben, <math display="inline">\nu</math> szimplán a diffúzió egyenletet elégítené ki: <math display="inline">\frac {\partial \nu}{\partial t}= D \Delta \nu </math>. Differenciálgeometriai értelemben <math>-D \centerdot grad \ \nu</math>. Dinamikai egyensúlyban tehát <math display="inline">\frac {\nu K}{m \beta} = D \centerdot grad \ \nu</math>. Ha ''K''-t és n– t elimináljuk az egyenletből (mivel feltettük, hogy ''K'' virtuális komponens), a kapott formula azonos Einstein ''diffúziós állandójára'' kapott kifejezésével: <math display="inline">D = \frac {kT}{m \beta}</math>. Ennek értelmében tehát akkor is megadható az együttható értéke, ha külső erő nem hat a rendszerre, és csak egy Brown-részecske van jelen. Megjegyzésképpen tekintsük még egyszer a ''K'' erő és az ozmotikus nyomás erőegyensúlyát. Ha mindkét oldalt elosztjuk mβ-val, valamint az Einstein formulát alkalmazzuk, a következő kifejezést kapjuk: <math display="inline">\frac {K}{m \beta}= D \frac {grad \ \nu}{\nu}</math>
 
Mivel a bal oldalon lévő sebességkomponens a külső erő hatására létrejött [[Mozgási energia|mozgási energiából]] származik, az ozmotikus nyomással ilyen módon egyensúlyt tartó erő nagysága <math display="inline">D \frac {grad \ \varrho}{\varrho}</math>. ▼
 
 
▲Mivel a bal oldalon lévő sebességkomponens a külső erő hatására létrejött [[Mozgási energia|mozgási energiából]] származik, az ozmotikus nyomással ilyen módon egyensúlyt tartó erő nagysága <math display="inline">D \frac {grad \ \varrho}{\varrho}</math>.
 
Ha a Brown-részecskéket nem pontszerű testnek tekintjük, hanem– pl. gömbszimmetrikus – kiterjedéssel rendelkező részecskéknek (melynek sugara ''a''), akkor a ''Stokes-egyenlet'' alapján ''D'' a következőképp írható: <math display="block">D= \frac {kT}{6 \pi \eta a}</math>
 
Laboratóriumi körülmények közt a fenti összefüggés számos komponense egyszerű számítások alapján meghatározható, mely elvet követve tett kísérletet ''Perrin'' és ''Chaudesaigues'' az [[Avogadro-szám]] meghatározására. Látható módon Einstein érvelése a Brown-mozgás dinamikai leírására nem ad kielégítő választ, az csupán annak elvi alapjait tárja fel, illetve utalást tesz több, további alapvető következtetési lehetőségre. ''Smoluchowski'' – Einsteintől függetlenül – hasonló eredményre jutott a mozgás elvi alapjainak leírásában. ''Langevin'' az Einstein-formulára egy másik levezetést javasolt, melyet később ''Ornstein'' és ''Uhlenbeck'' vizsgálatai során felhasznált. A jelenség ilyen módon való megközelítése a tárgykörben alapvetőnek bizonyult, tekintve az [[Atom|atomiatom]]i részecskék fogalmának jobb megérthetőségét illetően.
 
== Langevin-féle megközelítés ==
A nem-egyensúlyi rendszerek dinamikájának talán egyik legegyszerűbb megközelítéseként is aposztrofálható a Brown-mozgás. Ennek egyik szemléletes kifejtése a ''Langevin-egyenlet'', amely a fluktuáció-[[Disszipatív erő|disszipáció]] elmélet egyik ékes példája. A kezdeti koncepciók és a jelenség magyarázatai kissé eltérő módon kezelték magát a rendszert, ugyanis a jelenlévő egyes részecskék viselkedését, mintegy szubjektív módon vették figyelembe. Később ezt az álláspontot árnyaltabbá tették azáltal, hogy a fluktuáló részecskét egy nagyobb, makroszkopikus rendszer részeként szemlélték. Egy rendszerszerű perspektívából észlelve a reakciószintű történéseket ilyen módon visszavezethetjük a mikroszkopikus szinten végbemenő szabálytalan fluktuációk koncentráció-változásra gyakorolt hatására.
 
=== A Langevin-egyenlet ===
Tekintsünk egy Brown-részecskét (tipikusan 10<sup>–9</sup> m < ''r'' < 5×10<sup>–7</sup> m), mely egy sokkal kisebb partikulumokból (atomok) álló folyadékban elegyednek. Hasonlóképpen a részecskéket övező közeg atomjai nagyságrendileg nagyobb sebességgel mozognak, mint a Brown-részekék. Egy kolloidális rendszer általában legalább három idő nagyságrendet felölelő rendszert foglal magában. Jelen tárgyalásban ts egy nagyon rövid atomi nagyságrendű időskála – 10<sup>–12</sup> s körül tartományban. A t<sub>B</sub> (Brown-részecske) nagyságrendje mintegy 10<sup>–3</sup> s, továbbá t<sub>r</sub> a Brown-részecske ''relaxációs ideje'' (mely alatt a részecske saját sugarának megfelelő távolságra diffundál) – ez <math display="inline">\tau_r =a^2/D</math>. Sűrű, kolloid oldatban ez utóbbi igen hosszú intervallumot felölelhet, akár percekben, vagy órákban is mérhető. Jóllehet, a Brown-részecske mozgása többnyire véletlenszerű, mégis hasonló dinamikai formalizmusokkal írható le, mint bármely más mozgás. Ezek a [[Klasszikus mechanika|klasszikus mechanikában]] a Newton egyenletek, illetve a Hamilton-függvények. Az egyszerűség kedvéért ez a megközelítés a jelenséget egydimenziós megközelítésben tárgyalja. Newton – már ismert – dinamikai egyenlete alapján <math display="inline">m \frac{dv(t)}{dt}= F(t)</math>, ahol F''(t)'' a részecskére ''t'' időpillanatban ható összes erőt jelenti, mely a közeg által a részecskére ható erőt szimbolizálja. Ha szuszpenzió atomjainak helyzete ismert, mint az idő függvénye, F(t) rögtön kifejezhető. Általában nem praktikus, hogyhogy nem elkerülendő F(t) ilyetén meghatározása, melynek szinte teljes hányada a súrlódási erőből tevődik össze. Ha egyéb erőhatásokat nem veszünk figyelembe, akkor <math display="inline">m (dv/dt) = 6 \pi \eta \rho a</math> (''(Stokes)'').
Tekintsünk egy véletlenszerűen ható <math display="inline">\xi (t)</math>erőt, mely az esetleges fluktuáció-változások hatására jönnek létre. Ezt kifejtve, valamint a Stokes-egyenletet felhasználva a következők írhatók:<math display="block">d \frac {x(t)}{dt}= v(t) \qquad \frac {dv(t)}{dt}=- \frac{\gamma}{m}v(t)+ \frac{1}{m}\xi (t)</math>Ezek a Brown-részecske Langevin-egyenletei. Az említett véletlenszerűen képződő erőhatás egy [[Sztochasztikus folyamat|sztochasztikus]] változó függvény – ha ettől eltekintünk, akkor a fenti függvények szimplán a<math display="block">v(t)=e^{\frac{-t}{\tau_B}}v(0) \qquad \tau_B = \frac{m}{\gamma}</math>
 
 
kifejezésre egyszerűsödik. Ennélfogva belátható, hogy a Brown-részecske sebessége <math display="inline">t=\infty</math>esetén zérusra csökken. Ez természetesen összetett rendszerben nem fordulhat ugyanakkor elő, ugyanis egyensúlyban az ekvipartíció elve szerint <math display="inline">\langle v^2 (t)\rangle_{eq}= \frac{k_BT}{m}</math>, míg az egyszerűsített Langevin-egyenlet ilyen módon
46 ⟶ 43 sor:
<math display="block">\langle v^2(t)\rangle _{eq}=e^{-2t/\tau_B}\langle v^2(0)_{eq}\rightarrow 0</math>
 
Az ütközések során fellépő erőhatás nagysága az idővel rendkívül gyorsan változik. Ez leginkább a következőkkel szemléltethető:
 
<math display="block">\langle \xi (t)\rangle_\xi = 0 \qquad \langle \xi (t_1)\xi (t_2)\rangle_\xi = g \delta (t_1-t_2)</math>
 
A delta függvény azt szemlélteti, hogy két ütközés ''dt<sub>1</sub>'' és ''dt<sub>2</sub>'' között egymástól teljesen független. Nem szabad figyelmen kívül hagyni ugyanakkor, hogy utóbbi egyenletrendszer által illusztrált dinamikai modellben megjelenő erők összessége egyértelmű [[Normális eloszlás|Gauss-féle eloszlást]] mutat.
 
== Felhasznált irodalom ==
62 ⟶ 59 sor:
 
{{Nemzetközi katalógusok}}
 
{{DEFAULTSORT:Brownmozgas}}
[[Kategória:Biofizika]]
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Brown-mozgás”