„Halmazcsalád” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Ekvivalenciaosztályok |
|||
12. sor:
Végül előfordulhat az is, hogy az ''A''<''B'' és ''B''<''A'' egyszerre fennáll. Ha például ''A'' a számegyenes zárt intervallumaiból áll, ''B'' pedig a nyílt intervallumokból, akkor ''A'' finomabb is és durvább is ''B''-nél. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a két halmazrendszer ''ekvivalens''. Ha ''A'' és ''B'' ekvivalens halmazrendszerek, akkor ezt az összefüggést az ''A''~''B'' szimbólummal jelöljük.
A halmazcsaládok ekvivalenciája nyilvánvalóan [[reflexív reláció]]: minden ''A'' halmazrendszerre ''A''<''A'', és így ''A''~''A''. Ha ''A''~''B'', akkor ''A''<''B'' és ''B''<''A'', tehát ''B''~''A'', vagyis a halmazcsaládok ekvivalenciája [[szimmetrikus reláció]] is. Végül, ha ''A''~''B'' és ''B''~''C'', akkor ''A''<''B''<''C'', ezért minden ''C''-beli halmaznak rész egy ''B''-beli halmaz, annak pedig része egy ''A''-beli, ezért minden ''C''-beli halmaznak része egy ''A''-beli halmaz, vagyis ''A''<''C''. Hasonló gondolatmenettel ''A''>''C'', tehát ''A''~''C'': a halmazrendszerek ekvivalenciája tehát [[tranzitív reláció]]. Ezzel beláttuk, hogy a halmazrendszerek ekvivalenciája [[ekvivalenciareláció]] ''P(P(E))''-n, amely így [[ekvivalenciaosztály]]okra bomlik.
==Források==
| |||