„Szerkesztő:Tombenko/Függvénytranszformáció” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Sajátfüggvény: Példa |
|||
29. sor:
=== Sajátfüggvény ===
Egy <math>f</math> függvényt a <math>\mathfrak{T}</math> transzformáció sajátfüggvényének nevezzük, ha van olyan <math>\lambda
:<math>\mathfrak{T}f=\lambda\cdot f</math>
Sajátfüggvény nem minden esetben létezik. Ha létezik, akkor ez a transzformációt jellemzi, illetve egyes problémák megoldásában nagyban segíthet. Például a deriváltoperátor sajátfüggvénye az exponenciális függvény, és, mivel lineáris operátor is, ennek köszönhetően ha egy függvényt exponenciális függvények összegeként fel rudunk írni, akkor a deriválás illetve integrálás lényegesen egyszerűsödik. Ezt a [[Fourier-transzformáció]] során használjuk ki.
==== Példa ====
Keressük meg a differenciáloperátor sajátfüggvényét! Ha felírjuk a definíciót, egy [[differenciálegyenlet]]et kapunk:
:<math>\mathop{\frac{\text{d}}{\text{d}x}}f(x)=\lambda f(x)</math>
:<math>\frac{1}{f(x)}\mathop{\text{d}f(x)}=\lambda\mathop{\text{d}x}</math>
:<math>\ln(f(x))=\lambda x</math>
:<math>f(x)=e^{\lambda x}</math>
Hogy a kapott függvény tényleg sajátérték, arról egyszerűen deriválással győződhetünk meg.
== Jegyzetek ==
| |||